III . Отношение площадей

Рассмотрим треугольник ABC и выберем на стороне AC точку

M. Если провести в треугольнике ABC высоту BH, то эта высота одновременно будет и высотой в треугольнике ABM (рис. 10). Записывая площади треугольников ABC и ABM, получаем

Рис. 10

, ,

и .

Следовательно, зная площадь треугольника ABC и отношение , можно очень быстро вычислить площадь треугольника AMC .

Заметим, что найденная закономерность сохраняется и в том случае, когда точка M находится на продолжении стороны AC. Снова рассмотрим треугольник ABC, и на сторонах AC и AB, либо на продолжениях этих сторон, выберем соответственно точки M и K (рис. 11).

Рис. 11

Используя найденную закономерность получаем, что

 и .

Отсюда .

Пример 8. В треугольнике ABC точки M на стороне AB и K на стороне BC расположены так, что , . Отрезки AK и CM пересекаются в точке P. Найти площадь четырехугольника PMBK, если площадь треугольника ABC равна 12.

Решение. Сначала вычислим отношение , для чего проведем  (рис. 12). Так как , то , а из того, что , , получаем , откуда  и .    Теперь переходим к вычислению площадей.

 Так как , то .

Далее,

Рис. 12

. 

Поэтому .

Рассмотренную закономерность можно обобщить следующим образом: если для треугольников ABC и EFG известны отношения  двух сторон и отношение  соответствующих высот, то .

     Пример 9. В трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC. На  боковых  сторонах AB и CD поставлены точки K и L соответственно так, что . Найти отношение площадей AKLD и KBCL.

Решение. Обозначим площадь треугольника ABC через P. Так как высоты треугольников ABC и ADC равны и , то , и площадь трапеции равна 4P. Далее, треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD и равные высоты,

Рис. 13

поэтому . Так как , то . Аналогично, . Следовательно, .

Так как , то . Поэтому

. После этого получаем  и .

В качестве еще одного примера на применение рассмотренных свойств разберем одну известную олимпиадную задачу.

Пример 10. На продолжениях сторон AB , BC , CD , DA четырехугольника ABCD соответственно строятся точки M , N , K , L так, что , , , . Доказать, что площадь четырехугольника MNKL в пять раз больше площади четырехугольника ABCD.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 14) и постараемся понять, какие связанные с чертежом задачи мы умеем решать.

Рис. 14

И такие задачи находятся. Например, если знать площадь треугольника ABC, то мы можем сначала найти площадь треугольника BMC , а затем и площадь треугольника BMN. Когда это удалось отыскать, то дальнейшее уже не так сложно и приводит к следующему решению. , аналогично , , , откуда .