Дифференциальное исчисление функций и его приложение

Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

 

 

1. Вычислить предел

 

 

2. Найти асимптоты функции

Отметим, что данная функция не существует при .

Исследуем прямую на вертикальную асимптотичность:

Отсюда следует, что прямая является вертикальной асимптотой.

Проверим функцию на существование горизонтальных асимптот:

Отсюда следует, что горизонтальные асимптоты отсутствуют.

Проверим функцию на существование наклонной асимптоты:

Отсюда следует, что функция имеет наклонную асимптоту

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту  и наклонную асимптоту

 

 

3. Определить глобальные экстремумы

при хÎ[-2,0]

Для определения глобальных экстремумов, вычислим производную 1-го порядка для данной функции:

Найдем значения аргумента, при которых данная производная будет равна 0:

Отсюда имеем ;

Продолжая решение:

По теореме Виета, получим:

По условию задания глобальные экстремумы определяются на отрезке хÎ[-2,0]. Таким образом, имеем, что на отрезке [-2, -1] значение производной отрицательно, на отрезке
[-1, 0] – положительно. Таким образом, при , функция принимает минимальное значение на заданном отрезке:

Исследуем значения функции на концах заданного отрезка: ,

Таким образом, при  функция принимает максимальное значение на заданном отрезке.

Ответ:

 

4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции

Для исследования функции на монотонность, найдем производную 1-го порядка:

, Определим значения аргумента, при которых производная равна 0

На промежутке - функция монотонно убывает

На промежутке  - функция монотонно убывает

На промежутке - функция монотонно возрастает

То есть при х=0, функция принимает минимальное значение у=0

Таким образом, эскиз графика функции, выполненный по условию задания, выглядит следующим образом:

 

 

5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

По теореме Виета:

Далее определим промежутки выпуклости функции

На промежутке ; - выпуклость вверх

На промежутке ; - выпуклость вниз

На промежутке - выпуклость вверх

Значения функции в точках перегиба:

Тогда точки перегиба функции:  и N

 

 

Дифференциальное исчисление функций и его приложение

1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции

1) Функция не является четной, не является нечетной. Функция не периодична.

2) Функция  не существует при . Проверим гипотезу об асимптоте :


Таким образом является вертикальной асимптотой данной функции

3) Проверим гипотезу о существовании горизонтальной асимптоты:

Отсюда следует, что горизонтальные асимптоты отсутствуют.

4) Проверим гипотезу о существовании наклонной асимптоты:

аналогично при
Таким образом, наклонная асимптота имеет вид:

5)  единственно при , и не существует при  Исследуем знаки постоянства функции:
на промежутке
 на промежутке

6) Исследуем функцию на монотонность:
;
 при
На интервале  - функция возрастает
На интервале  - функция убывает
На интервале - функция убывает
На интервале - функция убывает
На интервале -функция возрастает
Точки экстремума: - локальный максимум
- локальный минимум

7) Исследуем функцию на выпуклость:

 данное уравнение корней не имеет;

Производная второго порядка не существует при
На промежутке  - функция выпукла вверх
На промежутке  - функция выпукла вниз

 

Таким образом, учитывая все вышеуказанное, эскиз графика функции будет выглядеть следующим образом:

 

 

2. Найти локальные экстремумы функции

Найдем первые производные:

Составим систему:

Найдем вторые производные:

 

Поскольку производные 2-го порядка для данной функции не существуют, то вопрос о локальных экстремумах остается открытым.

 

3. Определить экстремумы функции

, если у²+2х²=12, х>0, у>0

1. Составляем функцию Лагранжа:

2. Найдем первые частные производные функции Лагранжа:

3. Составим систему уравнений:

По условию: х>0, у>0
Таким образом: х =  у

4. Определи вторые производные функции Лагранжа:

5. Учитывая значения переменных, полученные в п.3, имеем:

6. Найдем производные условной функции:

7. Таким образом:

Видим, что в точке (2,2) исходная функция  при условии у²+2х²=12, х>0, у>0, будет иметь строгий условный максимум, при этом