Подставив (12) в (13), получим уравнение

Задание №1

 

Определить, существует ли кривая , доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение.

 

Решение: Составим уравнение Эйлера и найдём его общее решение:

 

 

 

Используем краевые условия:

 

 

Решаем систему уравнений и получаем:

 

 

Таким образом, экстремаль имеет уравнение вида

Так как

 

то функционал на прямой  достигает минимума.

Задание №2

 

Найти, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление , минимизирующее функционал  для системы, описываемой уравнениями

 

,

 

при начальных и конечных условиях соответственно:

 

 

A	B	t0	tf	x0	xf	a	b
0 1 0 0	0 1	0	1	1 0	0 0	0	1

Решение

Формируем задачу по исходным данным:

 

                       (1)

                          (2)

 

 

Составим функцию Лагранжа и гамильтониан:

 

 

и соответственно уравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н):

 

                            (3)

 

                  (4)

 

Используя замену (3), подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1):

 

 

и находим общее решение

 

                           (5)

 

Подставим его в первое уравнение (1):

 

и находим общее решение:

 

                                  (6)

 

Для  из (6) и  из (5) используем начальные и конечные условия и получаем систему уравнений для констант С₁, С₂, С₃, С₄,:

 

 

Таким образом, решение имеет вид:

 

 

которое удовлетворяет начальным и конечным условиям.

Задание №3

 

Для системы, описываемой уравнениями

 

 

 

с заданными условиями на начальное  и конечное  значение координат, найти оптимальное управление , минимизирующее функционал

 

 

A	B	t0	tf	x0	xf	g0	a	b
0 1 0 0	0 1	0	t	1 0	x1(tf) = -tf2	0	0	1

 

Решение. Формулируем задачу по исходным данным

 

                       (1)

 

                              (2)

 

т.е. , подвижна на правом конце, координата  - свободна на правом конце,

 

 

Составим функцию Гамильтона Н (или функцию Лагранжа L)

 

                         (3)

 

и соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа:

 

                                       (4)

 

        (5)

 

                  (6)

 

Составим вспомогательную функцию

 

,      

 

где . Таким образом:

 

.                                      (7)

 

Поскольку  и  подвижны, то используем условия трансверсальности:

 

                           (8)

 

                  (9)

 

Так как не фиксирован момент времени , то используем условие трансверсальности

 

 

Найдем значение  при  из (3), но учтем, что , а  из (9). Тогда, учитывая (4):

 

 

и используя (10) получим:

 

                     (11)

 

Подставляя (4), (5) и (6) в (2), а потом в (1) и интегрируя получим:

 

                  (12),

        (13)

 

Используя начальные условия, можем записать:

 

 

Запишем условие  с учетом (13). Тогда:

 

                      (14)

 

Уравнения (9), (11) и (14) составляют систему уравнений с тремя неизвестными С₁, С₂ и :

 

 

Подставляя 1-е уравнение во 2-е, получим:

 

,

 

а подставляя 1-е в третье, получим:

 

Таким образом, решение имеет вид:

 

 

Задание №4

 

Используя метод динамического программирования найти оптимальное уравнение для системы

 

 

A	B	t0	tf	F	a	b
0 1 0 0	0 1	0	∞	0	1 0 0 2	1

Решение:

Формируем задачу по исходным данным.

 

              (1)

 – не ограничено, то есть .

 

 

Составим уравнение Беллмана с учетом того, что  (S-функция Беллмана)

 

                        (2)

 

                               (3)

 

                                          (4)

 

Из (3) находим:

 

                                   (5)

 

Подставим (5) в (4)

 

        (6)

Представим функцию Беллмана в виде квадратичной формы

 

                          (7)

 

причем это должна быть положительно определенная квадратичная форма, а значит

 

                          (8)

 

т.е. матрица должна быть положительно определённой.

Вычисляя выражения:

 

                              (9)

 

подставим их в (6) и обратим коэффициенты при ,  и  в ноль, т.к. справа у нас ноль:

 

 

Отсюда:

 

                               (10)

 

                   (11)

 

                      (12)

 

Если , то  Þ S < 0, что нельзя допустить. Тогда:

 

 

 

а следовательно а₁₂ и а₂₂ должны быть одного знака, так как а₁₁ > 0.

Тогда а₁₂ = 1/2, а₂₂ = 1, а₁₁ = 1. Таким образом, решение имеет вид (из (5) и (9)):

 

Задача 5

Используя принцип максимума Понтрягина найти оптимальное управление для линейной системы

 

 

в задаче:

 

А	В	t0	tf	х0	xf	|u|
0 1 0 0 0 1 0 0 0	0 0 1	0	1	0 0 0	x1®max 0 0	£1

Решение:

Формируем задачу по исходным данным:

 

 

 

                          (4)

 

Составим функцию Гамильтона

 

 

Уравнения Эйлера-Лагранжа имеет вид:

 

                  (5)

 

                 (6)

 

          (7)

Поскольку  – подвижна, то используем условие трансверсальности:

 

 

 

Но из (5) видно, что y₁ = С₁Þ С₁ = 1. Тогда из (7) видно, что y₃ = t²/2-C₂t+C₃, - то есть это квадратичная парабола ветвями вверх, которая может дважды пересечь уровень y₃ = 0 и возможных порядок следования интервалов знакопостоянства следующий: +, -, +.

Из принципа максимума следует:

 

,

 

а следовательно:

 

 

Тогда, поскольку y₃ меняет знак дважды, (пусть в моменты t₁ и t₂) можем записать

 

                               (8)

 

Подставим  в (3) и получим, проинтегрировав уравнение (3)

                         (9)

 

Используя начальные и конечные условия для х₃ и условия непрерывности  в t₁ и t₂ получим:

 

           (10)

 

Подставим (9) и константы из (10) в (2) и проинтегрируем. Получим:

 

                   (11)

 

Используя начальные и конечные условия для х₂ и условия непрерывности в t₁ и t₂, получим:

 

 

Используем непрерывность  при  и :

 

                  

           

 

Собрав уравнения (10) и полученное уравнение составим систему уравнений:

 

                       (12-14)

Подставив (12) в (13), получим уравнение

 

.

 

Подставим (13) в полученное уравнение (вместо ):

 

 

Тогда t₁ из (12) равно

 

и, наконец,

 

 

Подставим (11), с учетом найденных констант в (1):

 

                    (15)

 

Исходя из начального условия и условия непрерывности получим:

 

 

Таким образом: моменты переключения: t₁=1/4, t₂=3/4, а  заданы уравнениями(15), (11), (9) и (8) с известными константами.

 

Задание №6

 

Установить управляемость и наблюдаемость линейной системы:

 

где

 

.

Решение:

Для оценки управляемости составим матрицу управляемости (учтем, что n=3);

 

Y = (B, AB, A²B):                                                      

 

 

Таким образом

 

Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов можно видеть, что

 

.

Следовательно, rang(Y)=3=n и система вполне управляема.

Для оценки наблюдаемости системы составим матрицу наблюдаемости (n=3):

 

H=(C^T, A^TC^T, (A^T)² C^T);

 

 

.

 

Таким образом

 

 

Взяв минор из 1, 2 и 3 столбцов можно видеть, что

 

 

Таким образом rang(H) = 3 = n, а следовательно система вполне наблюдаема.

Задание №7

 

Для линейной системы и квадратичного критерия

 

 

выполнить синтез оптимального управления с обратной связью

 

A	B	Q	R
0 1 1 0	1 0	1 0 0 0	1

Решение: Требуется выполнить синтез стационарного регулятора. Для этого воспользоваться алгебраическим матричным уравнением Риккати:

 

 

где

 

,

 

причем матрица l>0 (положительно определена).

 

Сравнивая коэффициенты матрицы слева и справа, стоящих на одинаковых местах получим систему уравнений:

 

 

Решая систему уравнений с учетом положительной определенности матрицы l, получим:

 

 

Тогда для уравнения, которое имеет вид

 

 

получим: