Нахождение центра клетки

Представим изображение клетки на микрофотографии со светового просвечивающего микроскопа как плоскую фигуру (назовем ее множество - точек Cellula), ограниченную одной замкнутой линией (образована от преломления света клеточной стенкой) (рис. 1). Тогда точка С называется центром клетки, если:

1. .

 - максимальное расстояние от точки С до граници клетки,

 – среднее расстояние от С до границы клетки.

Рис. 1. Нахождение центра клетки. Обозначения:

КС – клеточная стенка.

O – центр вспомогательной полярной системы координат.

Ol – полярная ось.

 – полярный радиус фиксированной точки M.

 – полярный угол фиксированной точки М.

 – фиксированная точка.

 – точка, принадлежащая границе клетки.

.

.

 – расстояние между точками N и M.

.

 – полярный радиус точки С.

 - полярный угол точки С.

.

.

.

Алгоритм нахождения центра клетки (рис. 1):

1. Проведем касательную к любой точке изображения клетки, эта касательная – полярная ось полярной системе координат, данную систему назовем вспомогательной, она служит для нахождения центра клетки, а полярная система координат, построенная от центра клетки, является полярной системой клетки.

2. . Определим координаты 18 точек границы клетки с шагом в 10°. По этим значениям построим интерполяционную формулу функции, описывающей линию границы клетки. Для этого воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона:

,

где h – шаг функции (в нашем случае ), n – число точек (18),  - разность определенного порядка, .

Выберем точку , принадлежащую клеточной стенке, тогда

.

3. Решаем уравнение: , . - точка экстремума.

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9.  – середина D.

10.  Выберем точки

,

принадлежащие клеточной стенке, найдем для них по пунктам 1 – 8. Полученные точки для каждой точки  являются точками другой фигуры, построенной на серединах, максимально длинных отрезков, соединяющих точки границы клетки. Для этой фигуры (второго порядка) определим фигуру третьего порядка по пунктам 1 – 9. И так 4 раза. Фигура пятого порядка будет мала и близка к окружности, у которой есть определенный центр.

11.  В фигуре пятого порядка выберем произвольную точку ее границы и по пунктам 1 – 8 определим середину максимально длинного отрезка для этой точки. Найденная точка и будет центром клетки.

В этом алгоритме работа с изображением клетки осуществляется только в пунктах 1 и 2, все остальные действия совершаются аналитически.

Нахождение Q(z)

Примем, что ось z расположена параллельно длинной оси исследуемого органа. Сделаем гистологические срезы органа в двух перпендикулярных плоскостях: параллельно длинной оси органа (оси z), и перпендикулярно ей. Функцию Q(z) будем искать на изображениях клеток, полученных на срезе, параллельном z. На изображении клетки определим ось z, а перпендикулярно ей от найденного по алгоритму из п. 1. 1 центра клетки построим полярную ось полярной системы координат клетки (рис. 2).

Рис. 2. Нахождение Q(z). Обозначения:

.

.

.

.

.

.

Алгоритм нахождения Q(z) (рис. 2).

1. Относительно полярной системы координат клетки составить интерполяционную формулу функции, описывающей контур сечения клетки, перпендикулярный оси z, по формуле 1. 1 п. 2.

2. .

3.  , так как  – параллелограмм.

4. .

5. Интерполируем функцию Q(z). При этом независимая переменной будет z (по пункту 3), а зависимой величина . Тогда интерполяционная формула Ньютона будет иметь вид:

.

Где , , , , .

6. Определить Q(z) по пунктам 1 - 4 для 20 клеток.

7. Для каждого коэффициента  построить дискретную функцию , где N – это номер клетки в ряду исследованных. Данную функцию можно задать таблицей соответствия значений области определения и области значения. Затем найдем  (среднее значение коэффициента).

8. Определим между какими клетками лежит найденное среднее значение. Та клетка из найденной пары, к значению  которой лежит ближе , считается средней по данному коэффициенту .

9. После того как были найдены средние клетки по всем коэффициентам (их 20, см. пункт 4) находим частоты с которыми клетки становились средними по формуле , где p – частота, с – число коэффициентов по которым клетка становилась средней, С=20.

10.  Выбираем клетку с наибольшей частотой p, ее функция Q(z) и считается функцией данного клеточного типа.