Оптимальный фильтр (наблюдатель) Калмана - Бьюси

В системах управления

Все рассмотренные выше оптимальные фильтры не касались напрямую задач управления. А между тем фильтры Калмана - Бьюси нашли широкое применение в системах автоматического управления, где они используются в качестве оптималь­ных наблюдателей. В этих задачах фильтры выполняют ту же роль получения не­смещенной оценки вектора состояния при наличии помех измерения и шу­мов (возмущений) объекта управления. Роль случайных возмущений объекта, напри­мер, могут играть порывы ветра, действующие на самолет.

Постановка задачи следующая. Рассматривается линейная система уравнений:

(1.198)

(1.199)

где X - n-мерный вектор состояния,

 Y - m-мерный вектор управления,

N₁ -р-мерный вектор случайных возмущений (шум объекта),

 Х_в - i-мерный вектор выхода (изме­рений),

 N₂ - l -мерный вектор помех измерений.

Зная статистические характеристи­ки случайных процессов N₁( t ) и N₂( t ) и управляющее воздействие Y( t ), необходимо построить линейное последовательное устройство (фильтр), который давал бы не­смещенную оценку вектора Х( t ) с минимальной среднеквадратичной ошибкой фильтрации.

Если рассмотреть уравнения (1.198), (1.199), то с точностью до обозначений они повторяют рассмотренные нами ранее постановки задач построения фильтров, сов­падают с этими уравнениями, за исключением слагаемого , характеризующе­го целенаправленное неслучайное управляющее воздействие на систему. Так как со­ставляющая  является детерминированной составляющей, то для того, чтобы получить те же структуры фильтров, которые были нами рассмотрены ранее, необхо­димо только ввести составляющую  в уравнение фильтра, и все рассуждения и выводы, полученные прежде, останутся в силе. Таким образом, уравне­ние оптимального фильтра (наблюдателя) для системы (1.198), (1.199) будет иметь следующий вид:

(1.200)

где входными воздействиями фильтра являются управление Y( t ) и вектор выхода системы (вектор измерений) Х_в( t ).

Как и в рассмотренных ранее задачах синтеза оптимального фильтра, решение за­дачи фильтрации зависит от многих дополнительных предположений, в частности, от коррелированности или некоррелированности шумов N₁( t ) и N₂( t ). Предполагается, что шумы N₁( t ) и N₂( t ) являются белыми гауссовыми и некоррелированными между собой, с нулевыми математическими ожиданиями:

(1.201)

(1.202)

где S ₁ ( t ), S ₂ ( t ) - положительно определенные симметричные матрицы интенсивно­стей. Кроме того, начальное состояние не коррелировано с шумами N₁( t ) и N₂( t ), то есть.

Известны математические ожидания и дисперсия начального вектора Х°

(1.204)

Тогда ставится задача определения матричной функции , и начальные условия задаются таким образом, чтобы получить несмещенную оценку вектора со­стояния X( t ) с минимальной среднеквадратичной ошибкой фильтрации

(1.205)

где

(1.206)

называется задачей оптимального наблюдения (задачей оптимального фильтра Кал мана - Бьюси для систем управления).

Решение поставленной задачи оптимального управления с учетом ранее решен­ных задач оптимальной фильтрации и введенных обозначений сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 3.

 Рассматривается задача оптимального наблюдения (1.198) - (1.206). Тогда решение данной задачи получается путем выбора матрицы коэффициентов наблюдателя

(1.207)

где

(1.208)

с начальными условиями

(1.209)

Начальные условия для оптимального наблюдателя (1.200) должны быть выбраны в виде

(1.210)