Структурные теоремы. Порядки симплектических групп

 

Предложение  Если поле  бесконечно, то группы ,  над  также бесконечны.

Доказательство. Число трансвекций  из  бесконечно.

Теорема  Порядок группы  равен

 

 

Порядок группы  равен

 

 

Доказательство. Второе утверждение следует из первого, так как группа  изоморфна группе . Докажем первое утверждение индукцией по . Если , то  и можно считать .

Под парой будем понимать упорядоченную пару векторов , , такую, что . Если  фиксирован, то существует единственная пара , где  принадлежит данной прямой, не ортогональной к . Поэтому число пар с  на первом месте равно числу прямых, не лежащих в , т. е.

 

 

Таким образом, имеется  пар с  на первом месте, а всего  пар.

Зафиксируем какую-нибудь пару . По теореме Витта для каждой пары  найдется по крайней мере один элемент группы , переводящий  в . Следовательно, имеется точно

 

 

элементов из , переводящих пару  в пару . По предположению индукции это число равно

 

 

Далее, каждый элемент группы  переводит  точно в одну пару. Следовательно, группа  содержит

 

 

элементов, что и требовалось доказать.

Предложение Если , то число максимальных вполне вырожденных подпространств пространства  равно

 

 

Доказательство. 1) Покажем сначала, что подгруппа  группы , оставляющая на месте произвольное максимальное вполне вырожденное подпространство  пространства , имеет порядок

 

 

Чтобы убедиться в этом, зафиксируем симплектическую базу

 

 

пространства , в которой векторы  порождают . Из следует, что матрица произвольного преобразования  имеет вид

 

 

где , а  - симметрическая матрица порядка  над ; эти  и  определяются преобразованием  однозначно. Кроме того, любые такие  и  соответствуют некоторому  из . Наше утверждение получается теперь, если умножить порядок группы  на число симметрических матриц порядка  над полем , т. е. .

2) Зафиксируем максимальное вполне вырожденное подпространство  пространства . По теореме Витта все максимальные вполне вырожденные подпространства пространства  даются формулой , где  пробегает группу . Из замечания 1) легко следует, что в этом процессе каждое максимальное вполне вырожденное подпространство повторяется точно

 

 

раз, поэтому общее число таких подпространств равно порядку группы , деленному на указанную величину. Очевидно, это и есть требуемое число.

Предложение  Если , то число регулярных плоскостей в пространстве  равно

 

 

Доказательство. Поступая, как при доказательстве утверждения , убедимся, что  должно содержать

 

 

регулярных плоскостей. Это число совпадает с указанным выше (применить теорему ).

Предложение  Группа  изоморфна симметрической группе .

Доказательство. Будем называть конфигурацией произвольное подмножество  из  элементов в -мерном регулярном знакопеременном пространстве  над полем , обладающее тем свойством, что любые два его различных элемента не ортогональны. Каждый ненулевой вектор  из  принадлежит ровно двум конфигурациям  и , так что они пересекаются по . Чтобы убедиться в этом, возьмем симплектическую базу  пространства , в которой . Ясно, что

 

 

и

 

 

- две различные конфигурации, пересекающиеся по множеству . Легкая проверка перебором показывает, что других конфигураций, содержащих элемент , нет. Если теперь выписать все различные конфигурации  в пространстве , то каждый вектор  из  появится точно в двух из них, откуда  и . Пусть  - Множество всех конфигураций в .

Если  - произвольный элемент из , то  тогда и только тогда является конфигурацией, когда  - конфигурация, поэтому  индуцирует отображение . Ясно, что это отображение на и, значит, перестановка на . Очевидно, что  есть гомоморфное отображение . Чтобы найти его ядро, возьмем в  элемент . Пусть  таков, что . Пусть  и  - две конфигурации, содержащие . Тогда  не принадлежит одной из них, скажем, . Отсюда  и . Другими словами, ядро тривиально, и мы имеем инъективный гомоморфизм . По теореме группа  состоит из  элементов, поэтому .

 

Центры

 

Заметим, что группа  неабелева. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять нетривиальные проективные трансвекции из  с неортогональными вычетными прямыми. Следовательно, группа  также неабелева.

Предложение  Группа  имеет тривиальный центр, а .

Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент  из центра группы . Пусть  - произвольная прямая из . Пусть  - проективная трансвекция из  с вычетной прямой . Тогда вычетной прямой преобразования  является . Но , так как  лежит в центре. Следовательно,  для всех . Поэтому  и, значит, группа  действительно не имеет центра. Второе утверждение следует из первого, если применить гомоморфизм .

 

Коммутанты

 

Предложение  Если ,  - произвольные прямые из , то множество трансвекций из  с вычетной прямой  и множество трансвекций с вычетной прямой  сопряжены относительно .

Доказательство. По теореме Витта в группе  существует такой элемент , что . Тогда сопряжение элементом  отображает множество трансвекций из  с вычетной прямой  на множество трансвекций из  с вычетной прямой .

Пример  Две трансвекций из  не обязательно сопряжены в . Например, трансвекций с вычетной прямой , сопряженные с , имеют вид , где  пробегает .

Замечание  Пусть  - симплектическая база пространства . Если  - произвольная симметрическая матрица порядка 2 над  и  - линейное преобразование, определенное матрицей

 

 

то мы знаем, что  принадлежит группе . Если преобразовать  в , производя 1) прибавление кратного одного столбца к другому с последующим аналогичным преобразованием соответствующих строк или 2) перестановку двух столбцов с последующей перестановкой соответствующих строк, то линейное преобразование  с матрицей

 

 

снова будет принадлежать группе , так как  тоже будет симметрической. В действительности  и  сопряжены в . Чтобы убедиться в этом, заметим, что  при подходящей матрице  из . Преобразование , определенное матрицей

 

 

принадлежит группе , и , так как

 

 

Предложение  Предположим, что , ,  и пусть  - нормальная подгруппа группы , содержащая регулярный элемент  с вычетом , представимый в виде произведения двух трансвекций из . Тогда .

Доказательство. Имеем разложение , где  - регулярная плоскость. Рассмотрим группу

 

 

Тогда . Кроме того, . Это очевидно, если ; если же , то применяем 2.1.12 и теорему 2.1.11 . Поэтому  - нормальная подгруппа в , не содержащаяся в . Отсюда следует, что . В частности, если  - фиксированная прямая в , то  содержит все трансвекции плоскости  с вычетной прямой . Следовательно,  содержит все трансвекции из  с вычетной прямой , а потому в силу вообще все трансвекции из  и .

Предложение  Предположим, что ,  или , , и пусть  - нормальная подгруппа группы , содержащая вырожденный элемент  с вычетом 2, представимый в виде произведения двух трансвекций из . Тогда .

Доказательство. 1) Модификация рассуждений, использованных при доказательстве утверждения , позволяет считать, что , если , и , если .

2) Рассмотрим сначала случай , . Тогда  имеет вид , причем , а звездочки равны . Далее эти трансвекции перестановочны, так как , поэтому мы можем, если нужно, заменить  на  и считать, что на самом деле . Можно считать, что эта новая  есть . В самом деле, если , то с помощью теоремы Витта выберем такое , что , . Тогда

 

 

Заменим теперь  на

 

 

Итак, можно считать, что . Дополним  до симплектической базы

 

 

пространства  и заметим, что

 

 

Подходящим сопряжением мы можем найти в  линейные преобразования с матрицами

 

 

в базе . Произведение этих преобразований равно элементу из  с матрицей

 

 

Следовательно, группа  содержит . Таким образом, она содержит все (= обе) трансвекции из  с вычетной прямой . Ввиду отсюда следует, что  содержит все трансвекции из  и, значит, .

3) Пусть теперь , . Тогда  и . Дополним  до симплектической базы

 

 

Тогда

 

 

Сопряжение дает нам в  линейные преобразования с матрицами

 

 

а потому и с матрицами

 

а значит, и с матрицей

 

 

Другими словами,  содержит  и, следовательно, все трансвекции из , откуда .

Предложение  Если , то  за одним исключением: .

Доказательство. Пусть , для некоторого . По теореме Витта существует такое , что  - плоскость и

 

 

Положим

 

 

Осталось применить и . В исключительном случае применяем и хорошо известные свойства группы .

Предложение  Если , то  за одним исключением: .

Теоремы о простоте

 

Теорема  Для любого четного числа  и любого поля  группа  проста за исключением группы , которая простой не является.

Доказательство. 1) Исключительное поведение группы  следует из . Будем предполагать поэтому, что  в общем случае и  при . Вместо проективной группы мы будем иметь дело с группой . Достаточно рассмотреть нормальную подгруппу  группы , не содержащуюся в подгруппе , и доказать, что .

2) Сначала покажем, что имеются , , такие, что  - регулярная плоскость. Для этого возьмем в группе  элемент .  сдвигает по крайней мере одну прямую из , т. е. существует такая прямая  из , что . Пусть  - нетривиальная трансвекция из  с вычетной прямой . Тогда элемент

 

 

принадлежит группе  и является произведением двух трансвекции из  с различными вычетными прямыми  и . Поэтому вычетное пространство преобразования  есть плоскость , в частности, . Если  - гиперболическое преобразование, то  - инволюция. Применим теперь утверждение 1.18, если характеристика равна , и утверждение 1.13, если характеристика не равна . Тогда, в частности, мы получим, что  не является произведением  трансвекции из , что противоречит допущению. Итак,  не может быть гиперболическим. Значит, существует такой вектор , что , т. е.  - регулярная плоскость.

3) Можно также показать, что имеются вектор  и преобразование , такие, что  - вырожденная плоскость. В самом деле, возьмем в  элемент . Существует такой вектор , что . Если , то цель достигнута, поэтому будем считать, что . Выберем  так, чтобы было

 

По теореме Витта в  найдется преобразование , такое, что , . Тогда преобразование  принадлежит  и переводит  в , поэтому  - вырожденная плоскость.

4) Возьмем ,  так, чтобы плоскость  была регулярной при  и вырожденной при . Тогда преобразование

 

 

принадлежит группе , является произведением двух трансвекций из  и его вычетное пространство есть плоскость . Поэтому .

Предложение  Если  и  - нормальная подгруппа группы , то  или , за исключением группы , которая, очевидно, не обладает этим свойством.

Доказательство. По поводу исключения см. . Далее, применяя к  теорему , получим, что  или . Допустим последнее. Тогда

 

 

Предложение доказано.

Теорему о простоте можно также доказать, используя группы подстановок. Напомним, что группой подстановок непустого множества  называется подгруппа  группы всех подстановок множества . Далее,  называется транзитивной, если для любых ,  существует такая подстановка  из , что . Напомним, что разбиением множества  называется множество  попарно непересекающихся подмножеств, объединение которых равно . Тривиальными называются два разбиения, состоящие соответственно из самого  и из всех одноэлементных подмножеств. Транзитивная группа  подстановок множества  называется импримитивной, если существует такое нетривиальное разбиение  множества , что  для всех , . В противном случае группа называется примитивной. Следующий результат является здесь ключевым.

Предложение  Примитивная группа подстановок  множества  проста, если выполнены следующие условия:

 

1) ,

 

2) для некоторого  стабилизатор  содержит такую нормальную абелеву подгруппу