Вычисление коэффициентов

Как было отмечено ранее граничные условия для уравнений (15)-(17), (19)-(21) являются свободными параметрами и могут быть выбраны специальным образом с учетом свойств решений этих уравнений.

Выбирая, для уравнений (15), (19) граничные условия: ,  , для (16), (18) , и для (17), (21) , , в результате получаем:

 

Для вычисления интегралов в значениях коэффициентов ,  строим кубический сплайн Эрмита [7] для подынтегральной функции . При этом считается, что кроме значений функции  на концах отрезков задаются значения производных  и , которые вычислялись при помощи формул (22), (23).

Тогда интегралы в формулах (31), (32) вычисляются с локальной погрешностью , и глобальная погрешность будет равняться , что и подтверждается вычислительными экспериментами. 

Также для сравнения были проведены расчеты уравнений (31), (32) с помощью формулы трапеций.

Отметим, что коэффициенты системы (30) получаются в итоге постоянными величинами.

 

Исследования свойств схемы

Для исследования устойчивости метода прогонки и монотонности схемы используем принцип максимума, т.е. если в системе уравнений (30) , ,  и , то в матрице системы уравнений (30) присутствует диагональное преобладание, матрица является монотонной и выполняется оценка  [6].

 Рассмотрим коэффициенты системы уравнений (30):

 

Отсюда следует, что схема является монотонной и метод прогонки устойчив.

 

Устойчивость по времени нетрудно показать с помощью спектрального признака устойчивости [5].

Перепишем уравнение (9) в следующей форме:

 

и решение (33) будем искать в виде:  Тогда подставляя это выражение в (33) получим следующее уравнение:

и следовательно,

 Очевидно, что

 

Отсюда следует, что схема абсолютно устойчива.

 

Для исследования порядка аппроксимации системы (5), (6) схемой (7), (8) разложим точное решение системы по формуле Тейлора в окрестности точки , предполагая наличие непрерывных вторых производных:

Подставляя эти значения в (7), (8) и, используя, свойства  и  системы (5), (6) получим невязку:

Таким образом, учтя погрешность при вычислении коэффициентов (31), (32) , система (5), (6) имеет аппроксимацию .  

 

 

Вычислительный эксперимент

Рассматривалась система трубопроводов, состоящая из 3 отрезков и 4 узлов. Длины всех отрезков одинаковы и равны 1, диаметры каналов одинаковы. Расчеты производились приведенным выше методом. Результаты расчетов сравнивались с точным решением системы (5), (6):

 

 

где  выбиралась:

 

1) .

Начальные условия: .

Граничные условия: при

                        при      

 

2) .

Начальные условия: .

Граничные условия: при

                        при

 

3) .

Начальные условия: .

Граничные условия: при

                        при

 

Таблицы погрешностей

Расчеты на момент времени .

1) Для первого случая:

 

		Сплайн Эрмита		Формула трапеций
tau	h	Общая погрешность	Погрешность по h	Общая погрешность	Погрешность по h
0,1	0,1	0,832851872281	0,000005587977	0,883060158026	0,049862541589
	0,05	0,832846634174	0,000000349870	0,845471064588	0,012273448151
	0,025	0,832846305931	0,000000021627	0,836006949938	0,002809333501
	0,0125	0,832846285402	0,000000001098	0,833636730148	0,000439113711
0,05	0,1	0,411112170340	0,000014415426	0,555115166343	0,142993370234
	0,05	0,411098669010	0,000000914096	0,447750454263	0,035628658154
	0,025	0,411097811602	0,000000056688	0,420301941958	0,008180145849
	0,0125	0,411097757795	0,000000002881	0,413401372060	0,001279575951
0,025	0,1	0,201166720391	0,000030952418	0,635665878379	0,431272044005
	0,05	0,201137819976	0,000002052003	0,316227793596	0,111833959222
	0,025	0,201135896782	0,000000128809	0,230331588708	0,025937754334
	0,0125	0,201135774540	0,000000006567	0,208461455105	0,004067620731

 

 

2) Для второго случая:

 

		Сплайн Эрмита		Формула трапеций
tau	h	Общая погрешность	Погрешность по h	Общая погрешность	Погрешность по h
0,1	0,1	0,0363862195882	0,0000003533755	0,0365225558362	0,0001361850555
	0,05	0,0363858866179	0,0000000204052	0,0364193116294	0,0000329408486
	0,025	0,0363858674276	0,0000000012149	0,0363940756462	0,0000077048655
	0,0125	0,0363858662825	0,0000000000698	0,0363878963462	0,0000015255654
0,05	0,1	0,0193290379468	0,0000003902564	0,0197702772371	0,0004398989059
	0,05	0,0193286704260	0,0000000227356	0,0194417061597	0,0001113278285
	0,025	0,0193286490606	0,0000000013702	0,0193567096123	0,0000263312812
	0,0125	0,0193286477694	0,0000000000790	0,0193356062043	0,0000052278731
0,025	0,1	0,0098628022883	0,0000008650402	0,0110834356765	0,0012156369665
	0,05	0,0098619896672	0,0000000524191	0,0102244373458	0,0003566386358
	0,025	0,0098619404102	0,0000000031621	0,0099557308589	0,0000879321489
	0,0125	0,0098619374304	0,0000000001824	0,0098854427220	0,0000176440120

 

 

3) Для третьего случая:

 

		Сплайн Эрмита		Формула трапеций
tau	h	Общая погрешность	Погрешность по h	Общая погрешность	Погрешность по h
0,1	0,1	0,0503848043379	0,0000001782382	0,0505305705713	0,0001453810399
	0,05	0,0503846356429	0,0000000095432	0,0504215935780	0,0000364040466
	0,025	0,0503846266571	0,0000000005574	0,0503937716362	0,0000085821047
	0,0125	0,0503846261316	0,0000000000319	0,0503868920084	0,0000017024770
0,05	0,1	0,0276662900907	0,0000004434286	0,0284799145762	0,0008107561790
	0,05	0,0276658723062	0,0000000256441	0,0278803276463	0,0002111692492
	0,025	0,0276658481883	0,0000000015263	0,0277194379421	0,0000502795450
	0,0125	0,0276658467498	0,0000000000877	0,0276791571079	0,0000099987108
0,025	0,1	0,0143508893578	0,0000011533406	0,0175269261320	0,0031636285406
	0,05	0,0143498065190	0,0000000705018	0,0151730530598	0,0008097554684
	0,025	0,0143497402744	0,0000000042572	0,0145658072176	0,0002025096262
	0,0125	0,0143497362628	0,0000000002455	0,0144040736398	0,0000407760484

Замечание

1) Погрешность по  вычислялась путем, взятия разности, между общей погрешностью и погрешности по времени. Погрешностью по времени мы считаем общую погрешность при минимальном .

2) С уменьшением шага  наблюдается увеличение погрешности по , это связано с зависимостью показателя диагонального преобладания  от шага .

 

 

Выводы

· В данной работе для решения начально-краевой задачи гиперболической системы дифференциальных уравнений была реализована схема с 4м порядком точности по пространственной переменной и 1м порядком по времени.

 

· Проведены исследования монотонности и устойчивости разностной схемы для линейной гиперболической системы второго порядка.

 

· Проведен сравнительный анализ численного и точного решения системы, подтверждающий теоретические выводы об устойчивости и точности схемы.

 

Литература

1. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. «Методы решения одномерных эволюционных систем». Новосибирск: Наука, 1993.

2. Воеводин А.Ф., Пономарев М.Ю. «Численный метод расчета нестационарных режимов гидравлических систем».

3. Годунов С.К. «Численное решение многомерных задач газовой динамики». Москва: Наука, 1976.

4. Меренков А.П. «Математическое моделирование и оптимизация систем тепло-, водо, нефте-, газоснабжения». Новосибирск: Наука, 1992.

5. Самарский А.А., Попов Ю.П. «Разностные схемы газовой динамики». Москва: Наука, 1975.

6. Воеводин А.Ф. «Метод факторизации для линейных и квазилинейных сингулярно возмущенных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений ». // Сиб. жур. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние.- Новосибирск, 2009.-Т. 12, №1.-с.1-15.  

7. Волков Е.А. «Численные методы». Москва: Наука, 1987.