Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)³р⁵(р+1)    (2.3)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , .

При условии (2.2) не учитываются матрицы вида  с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида  с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково:

а)  (р-1 штук),  и . Из (2.1) получаем равенство .

а1) Пусть =0. Тогда  и . Значит элементов  всего р-1 штук, количество невырожденных матриц  - (р-1)²р(р+1). Т.к  то из выражения  получаем равенство , т.е. хотя бы один из этих элементов не равен нулю. Пусть . Из того, что  получаем . Элементом , принимающим любое значение, можем однозначно задать элемент . Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)⁴×р²×(р+1) штук.

а2) Если ¹0, .Тогда  и . Значит элементов  всего р-1 штук, количество невырожденных матриц  - (р-1)²р(р+1). Т.к , то, из выражения  получаем . Пусть . Домножим равенство  ( ) на . Заменим  на  (из того, что ). Получим равенство . Вынесем  за скобки  и т.к.  делаем вывод, что . Значит и  ( ). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)⁵×р×(р+1) штук.

а3) Если ¹0,  и  получаем (р-1)⁴×р²×(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а1)

а4) Если ¹0, ,  и  получаем
(р-1)⁵×р×(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а2)

а5) Если ¹0, ,  и . Из того, что  получаем . Пусть . Равенство  ( ) умножим на  и заменим  на  ( ). Получим равенство . Вынося  за скобки ( ), замечаем, что элемент  однозначно выражается через  (  - р-1 штук). Но тогда  тоже выражается через эти элементы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)⁶×р×(р+1)штук.

 

Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта а) подсчитывается по формуле
(р-1)⁴×р×(р+1)×(р²+2р-1) (получается суммированием формул полученных в пунктах а1-а5).

б)  (р-1 штук),  ((р-1)²×р×(р+1)) штук). Т.к. , значит (2.4)

б1) Пусть =0. Тогда из (2.4) выводится равенство

   (2.5)

а из (2.5) получим . Распишем (2.5): . Т.е.  однозначно выражается через элемент , которых может быть р штук, и через элементы , , , , . Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)⁴×р²×(р+1).

б2) Если ¹0, .Тогда получим опять равенство (2.5) и из него . Элементов  всего р-1 штук. Т.к , то получаем что . Пусть . Умножив равенство (2.5) на , выражая  и произведя замену  на  получим равенство . А т.к.  и  делаем вывод, что  и  выражаются через все остальные элементы матрицы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям
(р-1)⁵×р×(р+1) штук.

б3) Если ¹0,  и  получаем (р-1)⁴×р²×(р+1) матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждения как в
пункте б1)

б4) Если ¹0, ,  и  получаем
(р-1)⁵×р×(р+1) матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждения как в пункте б2)

б5) Пусть ¹0, ,  и . Из того, что , получаем . Пусть . Тогда преобразовывая (2.4) получаем, что  однозначно выражается через  и все остальные элементы.

Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)⁶×р×(р+1) штук.

 

Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта б) подсчитывается по формуле
 (р-1)⁴×р×(р+1)×(р²+2р-1) (получается суммированием формул полученных в пунктах б1-б5).

Значит формула (р-1)³р⁵(р+1) для случая 1) при условии (2.2) верна.

2) Пусть ,  (количество их р-1),  (количество высчитывается по формуле (1.5)) и  (по р штук). Тогда из (2.1) получаем

.

Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)³р⁴(р+1)  (2.6)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что ,  и .

Но при этих условиях не учитываются матрицы вида  с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида  с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково:

а) ,  и . Из (2.1) получаем равенство , , а из того что  получаем что, например, элемент  однозначно выражается через элемент  (р штук) и все остальные элементы. А значит количество матриц с данными условиями (р-1)⁴р²(р+1).

б) ,  и . Из (2.1) получаем равенство , . А из  можем однозначно выразить, например, элемент  через элемент  (р штук) и все остальные элементы. А значит количество матриц с данными условиями (р-1)⁴р²(р+1).

 

3) Пусть , ,  (количество их p-1),  (количество высчитывается по формуле (1.5)) и  (по р штук).

Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)[(р-1)²р(р+1)]×р×р×р            (2.7)

Этими этапами мы перебрали все случаи невырожденных матриц порядка 3. складывая формулы (2.3), (2.6) и (2.7), полученные в этапах 1), 2) и 3) получаем формулу для нахождения количества обратимых матриц порядка 3 матриц над полем Z_p

(р-1)³р³(р+1)(р²+р+1) (2.8)

 

3. Общая формула для подсчета обратимых матриц над полем Z_p.

Используя алгоритм, описанный в предыдущих пунктах, для выведения формулы подсчета количества обратимых матриц, можем получить частные формулы для матриц произвольных порядков.

Например:

Для матриц порядка 4:

(р-1)⁴р⁶(р+1)(р²+р+1)(р³+р²+р+1).

Для матриц порядка 5:

(р-1)⁵р¹⁰(р+1)(р²+р+1)(р³+р²+р+1)( р⁴+р³+р²+р+1), и т.д.

Анализируя полученные результаты, можем сделать выводы, что общая формула для получения количества обратимых матриц порядка n над полем Z_p выглядит так:

Данную формулу тождественными преобразованиями можно привести к виду:

§3. Обратимые матрицы над кольцом Z_n  

 

Из теоремы доказанной в § 1 следует, что для определителей матриц A и B выполняется равенство |A·B|=|A|·|B|.

Для обратимых матриц A и B следует A·B=E.Следовательно |A·B|=|A|·|B|=|E|=1.

Таким образом, получаем: определитель обратимой матрицы является обратимым элементом.

Попытаемся сосчитать количество обратимых матриц над некоторыми кольцами вычетов по составному модулю.

 

Обратимые матрицы над Z₄.

*	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	0	2
3	0	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z₄: 4⁴=256.

В Z ₄ обратимыми элементами являются 1и3. Рассмотрим сколько обратимых матриц с определителем равным 1: |A|=ad-bc=1.

Разобьем на следующие варианты:

1. ad=3. Возможные случаи:

1) a=1 Ù d=3,

2) a=3 Ù d=1,

bc=2. Возможные случаи:

1) b=1 Ù c=2,

2) b=2 Ù c=1,

3) b=2 Ù c=3,

4) b=3 Ù c=2.

Получили с данным условием 8 обратимых матриц.

2. ad=2. Возможно 4 случая (см. предыдущий пункт).

bc=1. Возможные случаи:

1) b=c=1,

2) b=c=3.

Получили с данным условием 8 обратимых матриц.

3. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт).

bc=0. Возможные случаи:

1) b=0 Ù c=1,

2) b=0 Ù c=2,

3) b=0 Ù c=3,

4) b=1 Ù c=0,

5) b=2 Ù c=0,

6) b=3 Ù c=0,

7) b=c=0,

8) b=c=2.

Получили сданным условием 16 обратимых матриц.

4. ad=0. Возможно 8 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=3. Возможно 2 случая (см. первый пункт).

Получили с данным условием 16 обратимых матриц.

Таким образом, по данной классификации получаем 8+8+16+16+16=48 обратимых матриц, определитель которых равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 3, и число таких матриц будет также равно 48.

Следовательно, из 256 квадратных матриц второго порядка над Z₄ обратимыми являются 96.

 

Обратимые матрицы над Z₆ .

*	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	0	2	4
3	0	3	0	3	0	3
4	0	4	2	0	4	2
5	0	5	4	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z₆: 6⁴=1296.

В Z ₆ обратимыми элементами являются 1 и 5. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1:
|A|=ad-bc=1.

Разобьем на следующие варианты:

1. ad=5. Возможные случаи:

1) a=1 Ù d=5,

2) a=5 Ù d=1,

bc=4. Возможные случаи:

1) b=1 Ù c=4,

2) b=4 Ù c=1,

3) b=2 Ù c=5,

4) b=5 Ù c=2,

5) b=c=2,

6) b=c=4.

Получили с данным условием 12 обратимых матриц.

2. ad=4. Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=3. Возможные случаи:

1) b=3 Ù c=1,

2) b=1 Ù c=3,

3) b=3 Ù c=5,

4) b=5 Ù c=3,

5) b=c=3.

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

3. ad=3. Возможно 5 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=2. Возможные случаи:

1) b=2 Ù c=1,

2) b=1 Ù c=2,

3) b=2 Ù c=4,

4) b=4 Ù c=2,

5) b=4 Ù c=5,

6) b=5 Ù c=4.

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

4. ad=2. Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=1. Возможные случаи:

1) b=c=1,

2) b=c=5.

Получили с данным условием 12 обратимых матриц.

5. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт).

bc=0. Возможные случаи:

1) b=0 Ù c=1,

2) b=0 Ù c=2,

3) b=0 Ù c=3,

4) b=0 Ù c=4,

5) b=0 Ù c=5,

6) b=1 Ù c=0,

7) b=2 Ù c=0,

8) b=3 Ù c=0,

9) b=4 Ù c=0,

10) b=5 Ù c=0,

11) b=2 Ù c=3,

12) b=3 Ù c=2,

13) b=3 Ù c=4,

14) b=4 Ù c=3,

15) b=c=0.

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

6. ad=0. Возможно 15 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=5. Возможно 2 случая (см. первый пункт).

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

Таким образом по данной классификации получаем 12+30+30+12+30+30=144 обратимых матриц, определитель которых
равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 5, и число таких матриц будет также равно 144.

Следовательно, из 1296 квадратных матриц второго порядка над Z₆ обратимыми являются 288.

Обратимые матрицы над Z₈

*	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	0	2	4	6
3	0	3	6	3	4	7	2	5
4	0	4	0	4	0	4	0	4
5	0	5	2	7	4	1	6	3
6	0	6	4	2	0	6	4	2
7	0	7	6	5	4	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z₈: 8⁴=4096.

В Z ₈ обратимыми элементами являются 1, 3, 5 и 7. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1
|A|=ad-bc=1.

Аналогично предыдущим пунктам будем придерживаться той же классификации:

1. ad=7. Возможно 4 случая.

bc=6. Возможно 8 случаев.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

2. ad=6. Возможно 8 случаев.

bc=5. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

3. ad=5. Возможно 4 случая.

bc=4. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

4. ad=4. Возможно 12 случаев.

bc=3. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

5. ad=3. Возможно 4 случая.

bc=2. Возможно 8 случаев.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

6. ad=2. Возможно 8 случаев.

bc=1. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

7. ad=1. Возможны 4 случая .

bc=0. Возможно 20 случаев.

Получили с данным условием 80 обратимых матриц.

8. ad=0. Возможно 20 случаев.

bc=7. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 80 обратимых матриц.

Таким образом, обратимых матриц, определитель которых
равен 1 —384.

Следовательно, из 4096 квадратных матриц второго порядка над Z₈ обратимыми являются 1536.

Обратимые матрицы над Z₉

*	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
2	0	2	4	6	8	1	3	5	7
3	0	3	6	0	3	6	0	3	6
4	0	4	8	3	7	2	6	1	5
5	0	5	1	6	2	7	3	8	4
6	0	6	3	0	6	3	0	6	3
7	0	7	5	3	1	8	6	4	2
8	0	8	7	6	5	4	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z₉: 9⁴=6561.

В Z ₉ обратимыми элементами являются 1, 2, 4, 5, 7 и 8.

1. ad=8. Возможно 6 случаев.

bc=7. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 36 обратимых матриц.

2. ad=7. Возможно 6 случаев.

bc=6. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 72 обратимых матриц.

3. ad=6. Возможно 12 случаев.

bc=5. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 72 обратимых матриц.

4. ad=5. Возможно 6 случаев.

bc=4. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 36 обратимых матриц.

5. ad=4. Возможно 6 случаев.

bc=3. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 72 обратимых матриц.

6. ad=3. Возможно 12 случаев.

bc=2. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 72 обратимых матриц.

7. ad=2. Возможно 6 случаев.

bc=1. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 36 обратимых матриц.

8. ad=1. Возможно 6 случаев.

bc=0. Возможно 21 случай.

Получили с данным условием 126 обратимых матриц.

9. ad=0. Возможно 21 случай.

bc=8. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 126 обратимых матриц.

Таким образом, обратимых матриц, определитель которых равен 1 -648.

Следовательно, из 6561 квадратных матриц второго порядка над Z₉ обратимыми являются 3888.

Обратимые матрицы над Z₁₀

*	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	2	4	6	8	0	2	4	6	8
3	0	3	6	9	2	5	8	1	4	7
4	0	4	8	2	6	0	4	8	2	6
5	0	5	0	5	0	5	0	5	0	5
6	0	6	2	8	4	0	6	2	8	4
7	0	7	4	1	8	5	2	9	6	3
8	0	8	6	4	2	0	8	6	4	2
9	0	9	8	7	6	5	4	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z₁₀: 10⁴=1000.

В Z ₁₀ обратимыми элементами являются 1, 3, 7 и 9.

1. ad=9. Возможно 4 случая.

bc=8. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

2. ad=8. Возможно 12 случаев.

bc=7. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

3. ad=7. Возможно 4 случая.

bc=6. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

4. ad=6. Возможно 12 случаев.

bc=5. Возможно 9 случаев.

Получили с данным условием 108 обратимых матриц.

5. ad=5. Возможно 9 случаев.

bc=4. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 108 обратимых матриц.

6. ad=4. Возможно 12 случаев.

bc=3. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

7. ad=3. Возможно 4 случая.

bc=2. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

8. ad=2. Возможно 12 случаев.

bc=1. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

9. ad=1. Возможно 4 случая.

bc=0. Возможно 27 случаев.

Получили с данным условием 108 обратимых матриц.

10. ad=0. Возможно 27 случаев.

bc=9. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 108 обратимых матриц.

Таким образом, обратимых матриц, определитель которых
равен 1 —720.

Следовательно, из 10000 квадратных матриц второго порядка над Z₁₀ обратимыми являются 2880.

 

Используя выше изложенный метод, было также вычислено количество обратимых матриц для колец вычетов по модулям:10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21. В результате всех вычислений были получены следующие данные (ниже также использованы формулы полученные в §2):

Z n	формула	количество
2	(p-1)2p(p+1)	6
3	(p-1)2p(p+1)	48
4	-	96
5	(p-1)2p(p+1)	480
6	-	288
7	(p-1)2p(p+1)	2016
8	-	1536
9	-	3888
10	-	2880
11	(p-1)2p(p+1)	13200
12	-	4608
13	(p-1)2p(p+1)	26208
14	-	12096
15	-	23040
16	-	24576
17	(p-1)2p(p+1)	78336
18	-	23328
19	(p-1)2p(p+1)	123120
20	-	43520
21	-	96768

В итоге анализа полученных результатов эмпирическим путем была получена следующая формула для вычисления количества обратимых матриц второго порядка над кольцом вычетов по произвольному модулю.

Пусть Z _n -кольцо вычетов по модулю n, причем n = p ₁ ^{k 1} p ₂ ^{k 2} … p_m^km ,

Тогда количество обратимых матриц второго порядка равно:

 

(p₁-1)²(p₂-1)²…(p_m-1)²p₁p₂…p_m(p₁+1)(p₂+1)…(p_m+1)(p₁⁴)^k1-1(p₂⁴)^k2-1…(p_m⁴)^km-1

 

 

Литература

 

1. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.

2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.

3. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.