Самолётная система координат

Третья координатная система OXYZ, используемая при математическом описании движения самолёта, полностью связана с его корпусом, перемещается и вращается вместе с ним. Поэтому такая система получила название подвижной или связанной системы координат. Начало 0 связанной системы осей координат помещено в центр масс (ц.м.) самолета, ось 0X направлена от хвостовой к носовой части самолета, ось 0Y перпендикулярна оси 0X и направлена вверх в плоскости симметрии, ось 0Z перпендикулярна плоскости симметрии самолета и направлена в сторону правой консоли крыла.

Рис.2.1 Связанная система координат самолёта

Ориентация связанной системы координат относительно полусвязанной неподвижной системы координат определяется тремя углами Эйлера: угол рысканья ψ; угол тангажа θ; угол крена γ.

Углом рыскания ψ называется угол между осью OX_g и проекцией оси OX связанной системы координат на горизонтальную плоскость OX_gZ_g.

Углом тангажа θ называется угол между горизонтальной плоскостью OX_gZ_g и продольной осью OX самолёта.

Углом крена γ называется угол между вертикальной плоскостью OX_gY_g и диаметральной плоскостью самолёта OXY.

Рис.2.2 Углы рыскания, тангажа и крена самолёта

1.2.4 Взаимосвязь различных систем

Рис.2.3 Схема, поясняющая взаимодействие трех систем координат: географической, центра масс самолета и самолетной

Заданную угловую ориентацию самолёта относительно осей полусвязанной неподвижной системы координат можно получить, выполнив три последовательных поворота, которые следует проводить в предположении, что в начальный момент углового движения самолёта координатные оси OX_gY_gZ_g и OXYZ совпадают.

Первый поворот на угол ψ осуществим относительно оси OY_g (в начальный момент времени с ней совпадает ось OY). При этом оси OX и OZ, оставаясь в плоскости OX_gZ_g, займут некоторое промежуточное положение OX' и OZ'.

Пусть - направляющие орты полусвязанной неподвижной системы координат OX_gY_gZ_g;  - направляющие орты промежуточной системы координат OX'Y_gZ'.

Направляющие орты  связаны с ортами  следующими соотношениями:

 (1)

Это координатное преобразование задается с помощью так называемой матрицы направляющих косинусов, которая в данном случае имеет вид

 (2)

Другая (векторно-матричная) форма записи системы равенств(1)

. .

Второй поворот осей координат произведем относительно оси OZ' на угол θ. В результате чего координатные оси OX' и OY_g займут положение OX'' и OY''. Направляющие орты  второй промежуточной системы координат OX''Y''Z' связаны с ортами  следующими равенствами

(3)

Здесь матрица направляющих косинусов имеет вид

(4)

и тогда уравнения (3) можно переписать в векторно - матричной форме

Третий поворот координатных осей осуществим относительно оси OX'' на угол γ. При этом ось OY'' займет положение OY, а ось OZ' - OZ, ось OX'' совпадет с осью OX. Орты  связанной системы координат определяются через орты промежуточной системы координат OX''Y''Z' с помощью равенств

(5)

Матрица направляющих косинусов третьего поворота координатной системы в соответствии с (5) будет

 (6)

а уравнения (5) в векторно - матричной форме записи перепишутся следующим образом

.

С учетом полученных выше равенств последовательно получаем,

где  - это матрица преобразований векторных величин, заданных в полусвязанной неподвижной системе координат OX_gY_gZ_g, в векторные величины в связанной системе координат OXYZ. Непосредственное вычисление матрицы A дает следующий результат

Здесь следует отметить, что матрица A является ортогональной, т. е. .

Математическая модель