Перечень условных обозначений

Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов

 

 

Исполнитель:

Студентка группы М-42

Ларченко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Зверева Т.Е.

 

 

Гомель 2006

Содержание

 

Введение

Перечень условных обозначений

1. Общие определения и обозначения

2. Используемые результаты

3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов

4. Решетки подгрупповых функторов

5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов

Заключение

Список использованных источников

 

Введение

 

Согласно теореме о соответствии между подгруппами основной группы, содержащие нормальную подгруппу  и подгруппами из факторуппы  существует взаимнооднозначное соответствие, при котором нормальным подгруппам соответствуют нормальные подгруппы, субнормальным подгруппам соответствуют субнормальные и т.д.

Этот факт лежит в основе следующего определения, введеного в монографии А.Н. Скибы "Алгебра формаций." (Мн.: Беларуская навука, 1997).

Пусть  некоторый класс групп. Составим с каждой группой  некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что  - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия:

1)  для всех ;

2) для любого эпиморфизма , где А,  и для любых групп  и  имеет место  и

Значение этого понятия связано прежде всего с тем, что подгрупповой функтор выделяет в группе те системы подгрупп, которые инвариантны относительно гомоморфизма и поэтому удобны при проведении индуктивных рассуждений.

Целью данной дипломной работы является элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функтороф, доступное для понимания в рамках специальных курсов математических факультетов.

Дипломная работа состоит из введения, общей части, включающей 5 параграфов, заключения и списка используемой литературы.

В первом параграфе приводятся общие определения и обозначения.

Во втором параграфе даются те известные результаты теории групп, которые используются в основном тексте дипломной работы.

Третий параграф посвящен изучению основных понятий подгрупповых функторов и рассмотрению примеров. Здесь из различных источников собраны и систематизированы основные определения и примеры подгрупповых функторов.

В параграфе четыре систематизирован теоретический материал по теме "Решетки подгрупповых функторов".

Параграф пять изучает свойства конечных групп в зависимости от свойств соответствующих решеток подгрупповых функторов.

Перечень условных обозначений

 

 - принадлежность элемента множеству;

 - знак включения множеств;

 - знак строгого включения;

 и  - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

 - пустое множество;

 - множество всех простых чисел;

 - некоторое множество простых чисел, т.е. ;

Пусть  - группа. Тогда:

 - порядок группы ;

 - порядок элемента  группы ;

 - коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

 -  является подгруппой группы ;

 -  является собственной подгруппой группы ;

 -  является максимальной подгруппой группы ;

 -  является нормальной подгруппой группы ;

 -  является субнормальной подгруппой группы ;

 -  является минимальной нормальной подгруппой группы ;

 - факторгруппа группы  по подгруппе ;

 - индекс подгруппы  в группе ;

 - нормализатор подгруппы  в группе ;

Если  и  - подгруппы группы , то:

 -  и  изоморфны.

Пусть  - группа,  и , тогда:

 - правый смежный класс,

 - левый смежный класс;

 - совокупность всех нормальных подгрупп группы ;

 - группа порядка ;

Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

 - подгруппа, порожденная элементами  и .

 - подгрупповой  - функтор или подгрупповой функтор на , где  - некоторый класс групп;

 - совокупность всех  - подгрупп группы ;

 - тривиальный подгрупповой  - функтор;

 - единичный подгрупповой  - функтор;

 - ограничение подгруппового  - функтора  на класс групп ;

 - пересечение системы подгрупповых  - функторов ;

 - решётка всех подгрупповых  - функторов;

 - решётка всех замкнутых подгрупповых  - функторов;

Прописными готическими буквами обозначаются классы групп, т.е. всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные, в частности, формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

Стандартные обозначения, закрепленные за некоторыми классами групп:

 - класс всех групп;

 - класс всех абелевых групп;