Перечень определений и условных обозначений

Введение

Изучение групп, представимых в произведение своих подгрупп является классической задачей алгебры.

Изучение факторизуемых групп началось с изучения групп, разложимых в прямое произведение некоторого множества своих истинных подгрупп, т.е. при условиях, когда факторизующие подгруппы инвариантны в факторизуемой группе и пересечение любой из них с произведением остальных равно единице. Еще в XIX веке было установлено, что любая конечная абелева группа разложима в произведение некоторого множества циклических подгрупп (Фробениус и Штикельбергер [1]). В связи с этой теоремой в теорию групп пришел вопрос о конечных неабелевых группах, факторизуемых некоторым множеством своих попарно перестановочных циклических подгрупп. При этом не предлагается ни нормальность факторизующих множителей, ни единичность пересечения каждого из них с произведением остальных. Был установлен ряд свойств конечных групп, имеющих факторизацию такого рода, в частности их сверхразрешимость (теорема Хупперта [2]).

Как известно, конечная нильпотентная группа – это прямое произведение -подгрупп по разным простым  В связи с этим возник вопрос характеризации конечных групп, разложимых в произведение попарно перестановочных -подгрупп по разным простым

Случай, когда группа является произведением своих двух силовских подгрупп, т.е. бипримарной, был рассмотрен еще Берсайдом, который установил их разрешимость. В 1938 году Ф. Холл[28] доказал свою знаменитую теорему о том, что конечная группа тогда и только тогда разложима в произведение попарно перестановочных -подгрупп по разным простым , когда она разрешима.

В связи с этими результатами возник вопрос о строении конечных групп, представимых в произведение своих нильпотентных подгрупп. Ответ на этот вопрос был получен Виландтом[4] и Кегелем[19], которые установили разрешимость таких групп.

Класс конечных групп, представимых в произведение своих двух некоторых нильпотентных подгрупп (кратко, динильпотентных групп) достаточно сложен. Он включает в себя сверхразрешимые группы, бипримарные, метанильпотентные и т.д. и этими примерами он далеко не исчерпывается.

Даже для таких групп связь группы со свойствами подгрупп-множителей достаточно сложная и исследование ее становится весьма непростой задачей.

В последние пятнадцать лет эта связь изучалась в работах многих авторов. Получено немало интересных глубоких результатов и разработаны методы исследования. Естественно, что это направление далеко не исчерпало себя и имеет широкие перспективы.

Настоящая дипломная работа посвящена изучению некоторых свойств конечных разрешимых групп, представимых в виде произведения своих двух -разложимых подгрупп. В дальнейшем, для краткости, группы с таким свойством буем называть ди- -разложимые. Рассматриваются только конечные разрешимые группы.

Работа состоит из перечня условных обозначений, реферата, введения, основной части, включающей три раздела, заключения и списка цитируемой литературы.

Первый раздел носит справочный характер. Здесь приведены обозначения, определения и некоторые известные результаты, существенно используемые в работе.

Второй раздел посвящен изложению некоторых результатов о строении групп ди- -разложимых групп. Здесь собраны из различных источников и систематизированы основные результаты о ди- -разложимых группах и получен один новый результат.

Напомним следующее определение:

2.2.1 О п р е д е л е н и е. Пусть  – непустая формация. Подгруппа  группы  называется:

1) -субнормальной в , если либо , либо существует максимальная цепь подгрупп  такая, что  для всех  (обозначается );

2) -достижимой в , если существует цепь подгрупп  такая, что либо подгруппа  субнормальна в , либо  для любого  (oбозначается ).

2.2.6 Т е о р е м а. Пусть  – наслественная насыщенная формация, причем  и  – ди- -разожимая группа. Тога справиливы следующие утверждения:

1) если  и  то

2) если  и  то

Основные результаты и выводы работы сосредоточены в третьем разделе, в котором изучаются свойства подгрупп ди- -разложимых групп.

В 1958 году Виландт [4] ввел следующее понятие. Подгруппа  группы  называется факторизуемой относительно  если  и  Хайнекен Н. [4] в 1990 году исследовал факторизуемые -проекторы в динильпотентных конечных группах для случая, когда  – насыщенная формация. Группа  называется динильпотентной, если , где  и  – нильпотентные подгруппы группы  Подробнее в 1994 году Амберг В. и Хёфлинг В. [3] распространили основной результат Хайнекена на классы Шунка.

В третьем разделе нами исследуются факторизуемые проекторы в ди- -нильпотентных группах. В классе всех конечных разрешимых групп получены следующие результаты.

3.2.1 Т е о р е м а. Пусть  – некоторое множество простых чисел,  – класс Шунка и . Если  – ди- -разложимая группа, причем , то в  имеется хотя бы один факторизуемый относительно -проектор.

Так как всякая насыщенная формация является классом Шунка, то справедливо следующее:

3.2.2 С л е д с т в и е. Пусть  – насыщенная формация, причем  Если  – ди- -разложимая группа, причем , то в  имеется хотя бы один факторизуемый относительно -проектор.

Следуя [], подгруппу  группы  назовем -картеровой подгруппой, если -нильпотентна,  и  содержит некоторую -холловскую подгруппу группы .

3.2.4 С л е д с т в и е. Пусть  – ди- -разложимая группа. Тогда в  имеется хотя бы одна факторизуемая относительно -картерова подгруппа.

Следуя, [] подгруппу  группы  назовем -гашюцевой подгруппой, если -сверхразрешима, содержит некоторую -холловскую подгруппу группы  и для  индекс  есть составное число.

3.2.6 С л е д с т в и е. Пусть  – ди- -разложимая группа. Тогда в  имеется хотя бы одна факторизуемая относительно -гашюцева подгруппа.

Цель дипломной работы – изучение основных свойств конечных разрешимых произведений -разложимых групп и их факторизуемых подгрупп. В работе решены следующие задачи: – изучены свойства примитивных конечных разрешимых произведений -разложимых групп; – найдены условия факторизуемости -проекторов конечных разрешимых произведений -разложимых групп для случая, когда  – класс Шунка конечных разрешимых групп; – найдены приложения полученных результатов для классических формаций.

Объектом исследования являются конечные разрешимые произведения -разложимых групп и их подгрупп. Предметом исследования – свойства конечных разрешимых произведений -разложимых групп и их подгрупп.

Методология и методы исследования. В дипломной работе используются методы доказательств абстрактной теории конечных групп, а также методы теории классов конечных групп.

Новизна полученных результатов: Результаты первых двух разделов носят в основном реферативный характер. Теорема 2.2.6 является новой. Параграф 3.1 раздела 3 взят из работы Васильевой Т.И. [36]. Параграф 3.2 содержит новые результаты.

Практическое применение и экономическая значимость работы: Результаты дипломной работы могут быть использованы в научно-исследовательской работе студентов, аспирантов, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов на математических специальностях в высших учебных заведениях.

Необходимые сведения

Перечень определений и условных обозначений

Рассматриваются только конечные группы. Ниже мы приводим известные определения и понятия, которые существенно используются в работе.

 – простое число;

 – группа;

 – класс групп;

 – некоторое множество простых чисел;

 – дополнение к  во множестве всех простых чисел;

 – множество всех различных простых делителей порядка группы G;

 – множество всех различных простых делителей порядков групп, которые принадлежат ;

 – формация;

 – класс всех нильпотентных групп;

 – класс всех нильпотентных -групп;

 – класс всех нильпотентных -групп;

1.1.1 О п р е д е л е н и е. Подгруппа  группы  называется факторизуемой относительно  если  и

1.1.2 О п р е д е л е н и е. Группа  называется динильпотентной, если  где  и  – нильпотентные подгруппы группы

1.1.3 О п р е д е л е н и е. Группа называется сверхразрешимой, если она обладает нормальным рядом с циклическими факторами.

1.1.4 О п р е д е л е н и е. Холловой подгруппой конечной группы называют подгруппу, порядок и индекс которой взаимно просты.

1.1.5 О п р е д е л е н и е. Минимальной нормальной подгруппой группы  называется нормальная подгруппа  группы  такая, что  и в  нет нетривиальных нормальных подгрупп группы

1.1.6 О п р е д е л е н и е. Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы  называется подгруппой Фиттинга группы . Обозначается через

1.1.7 О п р е д е л е н и е. Группа  дисперсивна, если она обладает нормальным рядом, факторы которого изоморфны силовким подгруппам.

1.1.8 О п р е д е л е н и е. Формацией называется класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

1.1.9 О п р е д е л е н и е. Формация называется насыщенной, если она является насыщенным классом, т.е. если  то

1.1.10 О п р е д е л е н и е. Класс  называется примитивно замкнутым классом, если все примитивные факторгруппы группы  принадлежат , то

1.1.11 О п р е д е л е н и е. Классом Шунка называется класс групп, который одновременно замкнут относительно факторгрупп и является примитивно замкнутым классом.

1.1.12 О п р е д е л е н и е. Если  – подгруппа группы  и  то  называется -подгруппой.

1.1.13 О п р е д е л е н и е. -максимальной подгруппой группы  называется такая -подгруппа  группы  которая не содержится ни в какой большей -подгруппе.

1.1.14 О п р е д е л е н и е. Пусть  – некоторый класс групп. Подгруппа  группы  называется -проектором, если выполнены условия:  и из того, что , а , всегда следует

1.1.15 О п р е д е л е н и е. Подгруппу  группы  назовем -картеровой подгруппой, если -нильпотентна,  и  содержит некоторую -холловскую подгруппу группы .

1.1.16 О п р е д е л е н и е. Подгруппу  группы  назовем -гашюцевой подгруппой, если -сверхразрешима, содержит некоторую -холловскую подгруппу группы  и для  индекс  есть составное число.

1.1.17 О п р е д е л е н и е. Пересечение всех нормальных подгрупп группы  факторгруппы по которым принадлежат  обозначают через  и называют -корадикалом группы

1.1.18 О п р е д е л е н и е. -класс Шунка – класс Шунка, для которого из условия , всегда следует .