Занятие №2. Числовые характеристики статистических рядов.

Сбор и анализ статистических данных не является самоцелью; результаты статистических исследований позволяют принимать более правильные управленческие решения, выявлять закономерности и взаимозависимости, скрытые за случайными колебаниями, ошибками и искажениями.

Нередко возникает необходимость сравнить между собой две или несколько совокупностей статистических данных. Поскольку сравнение производится по какому-то определенному свойству, то для проведения сравнения нужны показатели, характеризующие то или иное свойство в совокупности данных одним числом. Такие показатели в статистике получили наименование числовых характеристик (статистических характеристик).

Простейшими числовыми характеристиками являются характеристики положения (среднее значение, мода, медиана) и характеристики рассеивания (размах, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратичное отклонение).

Среднее значение ряда наблюдений  - это центр рассеивания наблюдаемых значений, это расчетное значение, сумма отклонений всех вариант от которого равна нулю.

Если варианты в ряду х_i являются значениями непосредственно наблюдаемого признака, то среднее значение ряда  находят по формуле среднего арифметического:

 (формула простой средней),

 (формула средней взвешенной).

В статистике при вычислении средних ставится задача заменить все индивидуальные наблюдаемые значения признака некоторой обобщающей уравненной величиной  так, чтобы при этом не изменялась некоторая итоговая величина для всей совокупности. Этой величиной может быть сумма всех вариант (среднее арифметическое) или их произведение (среднее геометрическое), или сумма обратных величин (среднее гармоническое), или сумма квадратов вариант (среднее квадратичное) и так далее. Общая формула степенной средней:

,

при k=-1 получаем среднюю гармоническую, при k=1 – среднюю арифметическую, при k=2 – среднюю квадратичную, и так далее. Отдельно вводится понятие среднего геометрического

.

Правило мажорантности средних: _гарм£ _геом£ _арифм£ _квадр.

Выбор формулы для вычисления среднего определяется решаемой задачей.

Следующей числовой характеристикой статистических рядов является мода. Мода Мо – это значение вариант, встречающееся в ряду чаще других. В таблице распределения ряда мода – это значение х_j, которому соответствует наибольшее значение частоты n_j. Статистический ряд может иметь одну, две или несколько мод, может не иметь моды.

Медиана Ме – это срединная в вариационном ряду значение варианты. Если число членов ряда n нечетное, то

, где  - целая часть числа .

Если n четное, то .

Простейшей характеристикой рассеивания является размах: А=х_max-x_min; размах есть разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант в ряду.

Выборочная дисперсия D_выб(Х) есть среднее значение квадратов отклонений всех вариант от среднего значения ряда :

.

Для практических расчетов удобнее формула:

.

Дисперсия имеет размерность квадрата наблюдаемой величины, поэтому на практике широко используется еще один показатель рассеивания – среднее квадратичное отклонение s_выб(Х):

.

Важно помнить о принципиальном отличии числовых характеристик в статистике от числовых характеристик в теории вероятностей.

Задачи:

С62, С69, С87, С 93 С95 из пособия.