Пространства суммируемых функций.

  Среди различных классов нормированных пространств, встречающихся в анализе, один из важнейших - это пространство суммируемых функций. Далее будем рассматривать именно эти нормированные пространства.

    Определение. Пусть  – некоторое фиксированное измеримое множество из . Пространством , где ,называется нормированное пространство, элементами которого служат функции , измеримые и почти всюду конечные на , для которых выполняется

Функции, эквивалентные друг другу на , не различаются, а считаются за один и тот же элемент пространства . В частности, нулевой элемент в  – это совокупность всех функций, равных нулю почти всюду.

Сложение элементов в  и умножение их на числа определяются как обычные сложение и умножение функций. Точнее, поскольку каждый элемент в  – это класс эквивалентных между собой функций, то для того, чтобы сложить два таких класса, нужно брать в них по представителю и потом суммой этих классов называют класс, содержащий сумму выбранных представителей. Результат не будет зависеть от выбора представителей в данных классах.

    Определение. Число  называется нормой функции

Будут выполняться все свойства нормы:

1.  и  почти всюду;

2.

3.

Первое свойство cледует из определения нормы и того, что

Второе – из свойства интеграла: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. Третье свойство вытекает из неравенства Минковского: для любых функций  

Определение. Функция  называется ограниченной почти всюду, если существует неотрицательное число  такое, что почти всюду выполняется неравенство .                                                   (*)                      

    Определение. Пространством  называется нормированное пространство, элементами которого служат почти всюду ограниченные функции . Нормой  называется наименьшая из констант, удовлетворяющих неравенству (*).

Для  выполняется почти всюду неравенство .          

    Через  будем обозначать линейное пространство измеримых функций, заданных на R.

Среди линейных операторов, действующих в пространстве , рассмотрим следующие.

    Определение. Оператор , действующий из пространства ( ) в , называется оператором слабого типа ( p , p ), если 

, где - мера множества, и оператором типа ( p , p ), если .

По определению оператор типа  является ограниченным, что равносильно его непрерывности.

Предложение 1. Любой оператор типа  есть оператор слабого типа .

Доказательство.

    Нужно доказать, что .          

Воспользуемся неравенством Чебышева: .

    Возьмем любое положительное число . По неравенству Чебышева

. Но по условию .

Учитывая последнее соотношение, имеем , что и требовалось доказать.