ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

2019-12-29

216

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

1 23

1. Элементы комбинаторики Размещением с повторениями из n по m элементов называется конечная последовательность элементов некоторого множества . Если все члены выборки различны, то последовательность называется размещением без повторений. Размещения без повторения - m -элементные выборки, различающиеся либо входящими элементами, либо порядком их следования. Размещение с повторениями – это выборка с возвращением выбираемых элементов. Число всех возможных размещений с повторениями равно (число комбинаций, выбираемых из m групп, содержащих по n элементов). Размещение без повторения – выборка без возвращения выбираемых элементов . Общее число различных комбинаций – размещений без повторений обозначается символом и равно (количество выборок из m групп, содержащих соответственно , , …, элементов).

Перестановками называются размещения из n по n элементов. Общее число перестановок обозначают символом .

Сочетаниями из n по m элементов называются m - элементные подмножества множества , имеющие различный состав элементов. Два сочетания считаются различными, если хотя бы один элемент входит в одну комбинацию, но не входит в другую. Общее число различных сочетаний обозначают символом .

Число размещений, перестановок и сочетаний определяются формулами:

2. Классическое определение вероятности

, где n – общее число элементарных событий (исходов, которые в данном опыте образуют конечную полную группу равновозможных попарно несовместных событий), m – число элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А.

3. Геометрическое определение вероятности

. Вероятность попадания точки в какую либо часть А области Ω пропорциональна мере (длине, площади, объему и т.д.) этой части и не зависит от ее расположения и формы.

4. Основные свойства вероятности

Вероятность любого события А - число, заключенное между 0 и 1. Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность достоверного события равна 1.

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Для любых двух событий A и B имеет место формула (теорема сложения для произвольных событий):

Для полной группы несовместных событий

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

- теорема умножения.

Если события А и В – независимые, то

- теорема умножения.

5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса

Если известно, что событие А может произойти с одним из событий (гипотез), образующих полную группу попарно несовместных событий, то вероятность события А определяется по формуле полной вероятности:

Вероятности гипотез после того как имело место событие А переоценивают по формулам Байеса:

Пример . В ящике находится 10 деталей. Из них 3 дефектные. Наудачу отобраны 3 детали. Какова вероятность того, что:

а) все детали дефектные (событие А);

б) только одна деталь дефектная (событие В);

в) все три детали годные (событие С);

г) хотя бы одна деталь дефектная (событие D ).

Решение. Используем классическое определение вероятности.

а) Событие А = {выбранные три детали дефектные};

Элементарное событие в данной задаче - комбинация (сочетание) из трех деталей. - общее число способов выбрать 3 детали из имеющихся 10 деталей.

(имеется всего один вариант выбора 3 дефектных деталей).

б) Событие В = {из трех выбранных деталей 1 деталь дефектная, две детали без дефекта};

где - количество вариантов, благоприятствующих появлению события В, при которых 1 дефектная деталь выбирается из группы 3 дефектных и 2 бездефектные детали выбираются из группы 7 бездефектных деталей

Следовательно,

в) Событие С = {выбранные три детали бездефектные}

г) Событие D = {хотя бы одна из трех выбранных деталей бездефектная}. Рассмотрим противоположное событие .

= { среди трех выбранных деталей нет дефектных}. Так как , то

Пример . В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 игранных. Для игры наудачу выбираются два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекается ещё 2 мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

Решение. Рассмотрим предположения (гипотезы):

Н₁={на первую игру выбирают два новых мяча}.

Н₂={на первую игру выбирают один новый мяч, и один игранный}.

Н₃={на первую игру выбирают два игранных мяча}.

Вероятности гипотез соответственно равны:

, ,

Проверка: - выполняется: .

Пусть, событие А = {вторая игра проводится двумя новыми мячами}. Тогда условные вероятности следующие:

, ,

Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности:

Пример . а) На грядке высажено 8 луковиц определенного сорта тюльпанов. Всхожесть луковиц 80%. Какова вероятность, что взойдет не менее 5, но не более 7 растений.

Решение. Событие А = {взойдет отдельный тюльпан}.

Событие В = {взойдет от 5 до 7 растений}.

Пусть событие В₅={взойдет ровно 5 тюльпанов}, событие В₆= {взойдет ровно 6 тюльпанов}, событие В₇={взойдет ровно 7 тюльпанов}.

Вероятность события , состоящего в том, что событие А произойдет ровно k раз при n независимых испытаниях, рассчитывается по формуле Бернулли:

, где .

В частности,

В данном случае имеем . По теореме сложения для несовместных событий получаем

Пример . Составить закон распределения дискретной случайной величины (ДСВ) Х - оценки, полученной на экзамене наугад выбранным студентом. Известно, что в группе из 20 человек 2 студента получили оценку – «2», 6 студентов – «3», 10 студентов – «4» и 2 студента – «5». Построить график функции распределения. Вычислить числовые характеристики

Решение: ДСВ Х - отметка студента, которая может принять значения 2; 3; 4 или 5. Вероятность события { X =2} равна P ( X =2)= p ₁ =2/20, (число двоек - 2, а общее число студентов 20). Вероятности других возможных значений равны:

, , .

Следовательно, закон распределения ДСВ имеет вид:

	2	3	4	5
	0,1	0,3	0,5	0,1

Контроль: 0,1+0,3+0,5+0,1=1

Найдем числовые характеристики данной случайной величины. Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Функция распределения имеет вид:

График функции распределения имеет вид:

Пример . Из группы населения случайным образом отобрано 10 человек и собраны их доходы за истекший год в тысячах рублей х₁, х₂, х₃…х_10. Найти выборочное среднее исправленную выборочную дисперсию. Считая распределение доходов в группе нормальным и, применяя в качестве его параметров выборочные характеристики, определить, какой процент населения имеет годовой доход, превышающий 100 тыс. рублей.

х₁	х₂	х₃	х₄	х₅	х₆	х₇	х₈	х₉	х₁₀
80	110	130	100	70	90	150	60	90	70

Решение.

Найдем выборочную среднюю:

Вычислим выборочную дисперсию .

, n =10.

Исправленная выборочная дисперсия:

Чтобы найти процент группы населения, которая имеет доход, превышающий 100 тыс. руб. используем формулу попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный промежуток:

, где – функция Лапласа.

В данном случае принимаем следующие значения параметров:

= 100 тыс.руб., тыс.руб., тыс. руб., тыс.руб. (нет ограничений сверху). Имеем:

По таблице находим: , следовательно, .

ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

Пример 1. Даны матрицы и . - единичная матрица. Найти:

а) матрицу ; б) обратную матрицу и проверить, что :

Решение. а). Раскроем скобки, получим

Применяя правило умножения матрицы на матрицу, имеем

Следовательно,

б). Обратную матрицу найдем, используя присоединенную матрицу . Элементы присоединенной матрицы - это алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы , расположенные по столбцам:

Обратная матрица определяется формулой:

Вычислим определитель матрицы, проверим, что матрица невырожденная, следовательно, имеет обратную матрицу. Определитель найдем, раскрывая по элементам первой строки:

Находим алгебраические дополнения элементов исходной матрицы :

Итак, присоединенная матрица имеет вид:

Таким образом, обратная матрица равна

Проверим, что обратная матрица найдена правильно, должно выполняться условие . Вычислим элементы произведения матриц:

- верно,

- верно.

Пример 2. Тремя методами (Крамера, матричным методом и методом Гаусса) решить систему линейных алгебраических уравнений: , где матрицы и заданы в условии задачи 1, а - матрица-столбец неизвестных .

Решение. Учитывая правило перемножения матриц, запишем подробный вид системы:

Получим решение по формулам Крамера: . Здесь - определитель матрицы системы, он найден в задаче 1 при нахождении обратной матрицы. - определители, полученные из определителя матрицы системы заменой соответственно первого, второго, третьего столбца матрицы столбцом правых частей:

Таким образом, получаем,

Получим решение матричным методом. В этом случае решение определяется формулой:

Обратная матрица была найдена при решении задачи 1. Поэтому сразу запишем

Сравнивая соответствующие элементы матриц слева и справа, снова находим

Получим решение методом Гаусса. При помощи элементарных преобразований строк расширенной матрицы последовательно исключаем неизвестные в уравнениях системы. На месте клетки получим единичную матрицу , при этом на месте клетки появится вектор решения.

. Итак, .

Пример 3. Даны точки

. Найти:

а). Координаты, модуль и направляющие косинусы вектора ;

б). Проекцию вектора на вектор ;

в).Скалярное произведение векторов и , а также угол между ними;

г).Векторное произведение векторов и , а также площадь треугольника ;

д). Смешанное произведение векторов , а также объем пирамиды ABCD.

Решение. а) Вектор найдем по формуле : . Модуль вектора определяется соотношением . Получаем отсюда . Направляющие косинусы – это координаты орта вектора . Т.е. вектора . Направляющие косинусы равны: .

б). Проекцию вектора вычислим с помощью скалярного произведения:

Найдем вектор . Учитывая формулу вычисления скалярного произведения векторов в координатах

найдем проекцию

в). Найдем вектор и вычислим скалярное произведение векторов и . . .

Косинус угла между векторами и определяется равенством

Отсюда заключаем, что угол .

Найдем вектор и вычислим векторное произведение векторов с помощью формулы

. . Учитывая, что модуль векторного произведения – площадь параллелограмма, для площади треугольника имеем соотношение

д). Найдем вектор и вычислим смешанное произведение по формуле

Имеем . .

Учитывая, что модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного па векторах-сомножителях, а объем пирамиды составляет шестую часть объема параллелепипеда, получаем

Пример 4. . На плоскости даны вершины треугольника . Найти:

а). Канонические уравнения сторон и ;

б). Уравнение высоты, опущенной из вершины B;

в). Внутренний угол ;

г). Уравнение медианы, проведенной из вершины B;

д). Расстояние от точки В до стороны . Сделать чертеж:

Решение. а). Уравнения сторон найдем, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: .

Угловой коэффициент прямой равен .

б). Угловой коэффициент высоты связан с угловым коэффициентом стороны соотношением . Отсюда находим, . Уравнение высоты составим, используя уравнение прямой, имеющей заданный наклон и проходящей через заданную точку: .

в). Для нахождения внутреннего угла используем формулу

Получаем, . .

г). Чтобы составить уравнение медианы, найдем координаты точки - середины стороны : .

(каноническое уравнение вертикальной прямой).

д). Расстояние от вершины до стороны найдем по формуле:

, где - общее уравнение прямой, -

точка, от которой определяется расстояние. Общее уравнение стороны имеет вид: . Поэтому .

Строим треугольник в координатных осях:

Пример 5. Точки являются вершинами пирамиды. Найти:

а). Уравнения ребра ;

б). Угол между ребрами и ;

в). Уравнение грани ;

г). Угол между ребром и гранью ;

д). Уравнение высоты пирамиды, опущенной из вершины , а также проекцию этой вершины на плоскость .

Решение. а). Канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки, определяются соотношениями

Следовательно, уравнения ребра имеют вид

, или .

б). Угол между ребрами - это угол между векторами и .

Эти векторы соответственно равны и . Поэтому

в). Составим уравнение грани , используя условие компланарности векторов , и текущего вектора :

Раскрывая определитель, получим

, или

г). Угол между прямой с направляющим вектором и плоскостью с нормальным вектором определяется формулой

Направляющий вектор ребра равен , координаты нормального вектора плоскости – это коэффициенты в общем уравнении плоскости, т.е. . Отсюда получаем

, .

д). Направляющим вектором высоты пирамиды, опущенной из вершины , является нормальный вектор плоскости . Поэтому канонические уравнения высоты следующие

Проекцию вершины на плоскость основания найдем как пересечение прямой и плоскости . Для этого от канонических уравнений высоты перейдем к параметрическим уравнениям: