ПРИМЕР (случай не повторяющихся рангов)

Для примера рассмотрим зависимость между успеваемостью студентов ВУЗа по естественным и гуманитарным наукам. Исходные данные представлены в таблице 1.

Таблица 5. Исходные данные.

Студенты	Ранги успеваемости по наукам
	естественные,	гуманитарным,
Иванов А.	5	7
Петров В.	4	4
Семёнова И.	8	1
Комков А.	2	10
Шулейкин Е.	10	2
Краснов П.	1	3
Белкин С.	9	6
Кандыба Н.	3	8
Марченко А.	7	9
Якупов Ф.	6	5

 

В таблице 5 дана оценка успеваемости каждого студента в группе. То есть, каждому студенту приписан ранг от 1 до 10. Ранжируем исходные данные по признаку  успеваемость студента по естественным дисциплинам

Таблица 6. Расчёты.

Студенты	Ранги успеваемости по наукам
	естественные,	гуманитарные,
Краснов П.	1	9	-8	64
Комков А.	2	10	-8	64
Кандыба Н.	3	8	-5	25
Петров В.	4	5	-1	1
Иванов А.	5	4	1	1
Якупов Ф.	6	7	-1	1
Марченко А.	7	6	1	1
Семёнова И.	8	1	7	49
Белкин С.	9	2	7	49
Шулейкин Е.	10	3	7	49
Итого:	55	55		304

 

Вычисляем коэффициент корреляции рангов Спирмэна по формуле:

В нашем случае имеем . Тогда,

.

Таким образом, между способностями студентов к естественным и гуманитарным наукам имеется обратная, весьма существенная, связь.

Табличные значения коэффициента корреляции рангов Спирмэна при уровне значимости , числе наблюдений  и числе степеней свободы ,  есть:

,

при уровне значимости  и числе наблюдений  и числе степеней свободы , есть:

,

Так как, расчётное значение коэффициента корреляции рангов Спирмэна равно  и, следовательно,

,

то можно заключить, что сделанный нами вывод о существовании обратной и весьма существенной связи между способностями студентов к естественным и гуманитарным наукам, гарантирован с доверительной вероятностью больше 0,98 , но меньшей 0,99 . То есть, получили статистически значимый результат.

ПРИМЕР (случай повторяющихся рангов)

Имеются данные по тесту «Аналогии» обозначенные , а по тесту «Классификации» .

Ко­эффициент корреляции рангов показывает тесноту связи между выполнением задач в тестах «Аналогии» и «Классификации».

Формула ранговой корреляции:

,

где  разность между величинами рангов признака-фактора и результативного признака, то есть ;  число наблюдаемых единиц (объём выборочной совокупности).

Таблица 7. Расчёты.

Испыту­емые			Ранг		Ранг
1	А	1	1,0	3	1,0	0,0	0,00
2	Б	2	2,0	4	2,0	0,0	0,00
3	В	3	3,5	5	3,0	0,5	0,25
4	Г	3	3,5	6	4,5	1,0	1,00
5	Д	4	6,0	6	4,5	1,5	2,25
6	Е	4	6,0	7	6,5	0,5	0,25
7	Ж	4	6,0	7	6,5	0,5	0,25
8	3	5	8,5	8	9,5	1,0	1,00
9	И	5	8,5	8	9,5	1,0	1,00
10	К	6	10,5	8	9,5	1,0	1,00
11	Л	6	10,5	8	9,5	1,0	1,00
12	М	7	12,0	9	12,5	0,5	0,25
13	Н	8	13,0	9	12,5	0,5	0,25
14	О	9	14,0	10	14,0	0,0	0,00
15	П	10	15,0	11	15,0	0,0	0,00
,

 

Число степеней свободы равно .

Производится раздельное ранжирование ряда х и ряда у. Ранги назначаются следующим образом. Например, испытуемые В и Г занимают места с 3 по 4 по тесту «Аналогии» . Следовательно, ранг для этих испытуемых будет одинаковым. Этот ранг рассчитывается следующим образом.

.

Испытуемые Д, Е и Ж занимают места с 5 по 7 по тесту «Аналогии» . Следовательно, ранг для этих испытуемых будет одинаковым. Этот ранг рассчитывается следующим образом.

.

Испытуемые З и И занимают места с 8 по 9 по тесту «Аналогии» . Следовательно, ранг для этих испытуемых будет одинаковым. Этот ранг рассчитывается следующим образом.

.

Испытуемые З, И, К и Л занимают места с 8 по 11 по тесту «Классификации» . Следовательно, ранг для этих испытуемых будет одинаковым. Этот ранг рассчитывается следующим образом.

.

И так далее.

Вычис­ляется разность рангов  попарно. Знак разности не существенен, так как по формуле нужно возвести  в квадрат. Далее действия определяются формулой:

.

По таблице уровней значимости устанавливаем, что данный результат гарантирован с доверительной вероятностью 0,998.

.

Корреляция как метод статистического анализа в психологиче­ских исследованиях применяется очень часто. Всем, кто работает с применением корреляционного анализа, то есть, выясняет посредством этого метода тесноту связи двух рядов, следует напомнить, что ко­эффициент, как бы высок он ни был, нельзя интерпретировать как показатель наличия причинной связи между коррелируемыми ряда­ми. Если коэффициент и может быть как-то использован в обсуж­дении вопроса о возможных причинных связях, то только в том случае, когда содержательная логика исследования и выдвигаемые при этом теоретические соображения позволяют опереться как на один из аргументов и на значение коэффициента корреляции.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Значения коэффициента корреляции рангов Спирмэна для двухсторонних пределов уровня значимости .

Таблица.

	0,200	0,100	0,050	0,020	0,010	0,002
4	0,8000	0,8000	-	-	-	-
5	0,7000	0,8000	0,9000	0,9000	-	-
6	0,6000	0,7714	0,8286	0,8857	0,9429	-
7	0,5357	0,6786	0,7450	0,8571	0,8929	0,9643
8	0,5000	0,6190	0,7143	0,8095	0,8571	0,9286
9	0,4667	0,5833	0,6833	0,7667	0,8167	0,9000
10	0,4424	0,5515	0,6364	0,7333	0,7818	0,8667
11	0,4182	0,5273	0,6091	0,7000	0,7455	0,8364
12	0,3986	0,4965	0,5804	0,6713	0,7273	0,8182
13	0,3791	0,4780	0,5549	0,6429	0,6978	0,7912
14	0,3626	0,4593	0,5341	0,6220	0,6747	0,7670
15	0,3500	0,4429	0,5179	0,6000	0,6536	0,7464
16	0,3382	0,4265	0,5000	0,5824	0,6324	0,7265
17	0,3260	0,4118	0,4853	0,5637	0,6152	0,7083
18	0,3148	0,3994	0,4716	0,5480	0,5975	0,6904
19	0,3070	0,3895	0,4579	0,5333	0,5825	0,6737
20	0,2977	0,3789	0,4451	0,5203	0,5684	0,6586
21	0,2909	0,3688	0,4351	0,5078	0,5545	0,6455
22	0,2829	0,3597	0,4241	0,4963	0,5426	0,6318
23	0,2767	0,3518	0,4150	0,4852	0,5306	0,6186
24	0,2704	0,3435	0,4061	0,4748	0,5200	0,6070
25	0,2646	0,3362	0,3977	0,4654	0,5100	0,5962
26	0,2588	0,3299	0,3894	0,4564	0,5002	0,5856
27	0,2540	0,3236	0,3822	0,4481	0,4915	0,5757
28	0,2490	0,3175	0,3749	0,4401	0,4828	0,5660
29	0,2443	0,3113	0,3685	0,4320	0,4744	0,5567
30	0,2400	0,3059	0,3620	0,4251	0,4665	0,5479

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В. М. Гусаров, Теория статистики, Москва, ЮНИТИ, 2004. 463 стр.

2. М. Р. Ефимова и другие, Практикум по общей теории статистики, издательство: Финансы и статистика – Москва, 1999. 280 стр.

3. Под редакцией Ю.Н. Иванова, Экономическая статистика, издательство: Москва ИНФРА – М, 2002. 480 стр.

4. Под редакцией Г.В. Ионина. Статистика (курс лекций) Новосибирск: издательство Москва ИНФРА – М, 2003. 310 стр.