Описание метода Ньютона (метода касательных)

 

Пусть корень  уравнения f ( x ) = 0 отделён на отрезке, причем f ’( x ) и f ’’( x ) непрерывны и сохраняют определённые знаки при . Найдя какое-нибудь n-e приближение корня n ( ), мы можем уточнить его по Методу Ньютона следующим образом. Пусть , где hn малая величина. Отсюда, применяя формулу Тейлора, получим:

 

 

Следовательно,

 

Внеся эту поправку в формулу (2), получим следующее по порядку приближение корня:

(n=0,1,2…).        

 

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой y = f ( x ) касательной, проведенной в некоторой точке кривой. в самом деле, положим для определённости, что f ’’( x )>0 при  и f ( b )>0 (рис. 1).

Выберем, например, х0=b, для которого f ( x ) f ’’( x )>0. Проведем касательную к кривой y = f ( x ) в точке B0 (x0, f(x0)).

 

 

В качестве 1-го приближения x 1 корня  возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ox . Через точку B1( x 1, f ( x 1)) снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с Ox даст нам 2-е приближение x 2 корня  и т.д. (рис. 1). Очевидно, что уравнение касательной в точке Bn (xn, f ( xn)) (где n=0,1,2…) есть

 

 

Полагая, что у=0, x = xn +1,получим формулу (3):

.

Заметим, что если в нашем случае положить х0=a и, следовательно, f ( x ) f ’’( x )<0, то, проведя касательную к кривой y = f ( x )в точке A ( a , f ( a )) , мы получили бы точку x1’ (рис. 1), лежащую вне отрезка [а, b], т. е. при этом выборе начального значения метод Ньютона оказывается непрактичным. Таким образом, в данном случае «хорошим» начальным приближением х0 является то, для которого выполнено неравенство

 

                         (4)

 

Докажем, что это правило является общим.

Теорема. Если f(a)f(b)<0, причем f'(x) и f" (х) отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при , то, исходя из начального приближения удовлетворяющего неравенству (4), можно вычислить методом Ньютона (формула (3)) единственный корень  уравнения (1) с любой степенью точности.

Доказательство. Пусть, например, f(a)< 0,  f(b)>0, f '(x) >0, f ’’( x )>0 при  (остальные случаи рассматриваются аналогично). Согласно неравенству (4) имеем f(x0) >0 (например, можно принять х0 = b).

Методом математической индукции докажем, что все приближения xn> (n = 0, 1, 2,...) и, следовательно, f ( xn )>0. В самом деле, прежде всего, x0 > .

Пусть теперь xn> . Положим

 

 

Применяя формулу Тейлора, получим:

 

где <cn<xn.

Так как f ’’( x )>0, то имеем:

 

 

и, следовательно,

 

 

что и требовалось доказать.

Из формулы (3), учитывая знаки f(xn) и f’(х n ), имеем хn+1 < хn (n = 0, 1, ...), т. е. последовательные приближения x0, x1,…, хn, ... образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность. Следовательно, существует .

Переходя к пределу в равенстве (3), будем иметь:

 

 

т.е. f ( )=0. Следовательно, = , что и требовалось доказать.

Поэтому, применяя метод Ньютона, следует руководствоваться следующим правилом: в качестве исходной точки х0 выбирается тот конец интервала (а, b ), которому отвечает ордината того же знака, что и знак f"(x).

Замечание 1. Если:

1. функция f ( x ) определена и непрерывна при ;

2. f (a)f(b)<0;

3. f’(x) при ;

4. f "(x) существует всюду и сохраняет постоянный знак, то при применении метода Ньютона для нахождения корня уравнения f ( x ) = 0, лежащего в интервале (а, b ), за начальное приближение x0 можно принять любое значение . В частности, можно взять x 0= a или x 0= b.

Действительно, пусть, например, f ’( x ) > 0 при , f"(x )>0 и х0 = с, где .

Если f (с) = 0, то корень  = с и задача, таким образом, решена.

Если f ( c ) > 0, то справедливо приведенное выше рассуждение и процесс Ньютона с начальным значением с сходится к корню .

Наконец, если f (с) <0, то находим значение

 

 

Применяя формулу Тейлора, будем иметь:

 

 

где —некоторое промежуточное значение между с и х1. Таким образом, f ( x 1) f ’’( x 1)>0.

Кроме того, из условия f"(x) >0 вытекает, что f ’ (х) — возрастающая функция и, значит, f ’( x ) > f ' (а) > 0 при х>а. Следовательно, х1 можно принять за начальное значение для процесса Ньютона, сходящегося к некоторому корню функции f ( x ) такому, что > с а. Так как в силу положительности производной f ' (х) при х > а функция f ( x ) имеет единственный корень на интервале (а, + ), то = .

Аналогичное рассмотрение можно провести для других комбинаций знаков производных f ’( x )и f"(x).

Замечание 2. Из формулы (3) видно, что чем больше численное значение производной f ’( x ) в окрестности данного корня, тем меньше поправка, которую нужно прибавить к n-му приближению, чтобы получить (n+l)-e приближение. Поэтому метод Ньютона особенно удобно применять тогда, когда в окрестности данного корня график функции имеет большую крутизну. Но если численное значение производной f ’( x ) близ корня мало, то поправки будут велики, и вычисление корня по этому методу может оказаться очень долгим, а иногда и вовсе невозможным. Следовательно, если кривая y = f ( x ) вблизи точки пересечения с осью Ох почти горизонтальна, то применять метод Ньютона для решения уравнения f ( x ) = 0 не рекомендуется.

 

Оценка погрешности

 

Для оценки погрешности n-го приближения хn можно воспользоваться общей формулой.

 

                                 (6)

 

где m1 — наименьшее значение | f ’( x )|на отрезке [а, b].

Выведем еще одну формулу для оценки точности приближения xn. Применяя формулу Тейлора, имеем:

 

(7)

 

где . Так как в силу определения приближения хп имеем

 

то из (7) находим:

 

 

где М2 — наибольшее значение | f " (х)|на отрезке [а, b].Следовательно, на основании формулы (6) окончательно получаем:

 

 

Если процесс Ньютона сходится, то хп- хп-1 0 при п—► . Поэтому при п имеем:

 

 

т.е. «установившиеся» начальные десятичные знаки приближений xn -1 и xn начиная с некоторого приближения, являются верными.

Заметим, что в общем случае совпадение с точностью до е двух последовательных приближений хп-1 и хп вовсе не гарантирует, что с той же точностью совпадает значение хп и точный корень | (рис. 19).

Установим также формулу, связывающую абсолютные погрешности двух последовательных приближений хп и xn +1. Из формулы (5) получаем:    

 

 

где . Отсюда, учитывая формулу (3), будем иметь:

 

и, следовательно,

 

(9)

 

Формула (9) обеспечивает быструю сходимость процесса Ньютона, если начальное приближение х0 таково, что

 

 

В частности, если

 

 

то из формулы (9) получаем:

 

 

т.е. в этом случае, если приближение хп имело m верных десятичных знаков после запятой, то следующее приближение хп+1 будет иметь по меньшей мере 2т верных знаков; иными словами, если  , то с помощью метода Ньютона число верных знаков после запятой искомого корня  удваивается на каждом шаге.