Методика исследования SSA-метода на основе информационных технологий

Для исследования SSA-метода применяется комплекс информационных технологий, представленный табличным процессором MS Excel, математическим пакетом Mathcad и пакетом статистической обработки данных Statistica.

Этап вложения. Для экспериментальных исследований исходный ряд  может быть задан по известным функциям либо определен результатами функционирования исследуемой системы. По известным функциям ряд формируется на рабочем листе MS Excel и затем в пакете Mathcad формируется матрица А, которая по правилам построения является ганкелевой [5]. Процедура вложения является преобразованием исходного одномерного ряда в последовательность -мерных векторов, число которых равно :

, . (1)

Эти вектора образуют траекторную матрицу  ряда , в которой. , т. е. матрица  имеет одинаковые элементы на диагонали .

Этап сингулярного разложения. Обозначим . Матрица симметричная и неотрицательно определенная, а значит ее собственные числа  вещественны и неотрицательны. Представленные в виде  собственные числа называют сингулярными значениями матрицы А. Пусть  – соответствующие им ортонормированные собственные вектора. Будем называть  порядком сингулярного разложения. Обозначим

. (2)

Тогда сингулярным разложением матрицы A называется ее представление в виде суммы элементарных матриц

. (3)

Каждая из матриц  имеет ранг, равный единице. Поэтому их можно назвать элементарными матрицами. Вектор  называют k-м левым сингулярным вектором или просто k-м собственным вектором, вектор  – правым сингулярным вектором.

Набор будем называть k-ой собственной тройкой.

Собственные числа  матрицы А в пакете Mathcad представлены вектором d. Вектор d сингулярных значений в Mathcad определяется с использованием функции svds() [6]:

d := svds(A). (4)

Диагональная матрица ds сингулярных значений матрицы А в пакете Mathcad определяется с использованием функции diag():

ds := diag(d). (5)

Объединенная матрица AS с левыми и правыми сингулярными векторами определяется с использованием функции svd ():

AS := svd(A). (6)

Для разделения левых и правых сингулярных векторов из матрицы AS используется функция submatrix() [6].

Этап группировки. Вид левых и правых сингулярных векторов, трактуемых в SSA как временные ряды, является очень важным для следующего шага метода – группировки [3]. При этом для одномерного SSA левые и правые сингулярные вектора обладают определенной симметрией, так как в этих случаях сингулярные разложения траекторных матриц с длиной окна  и  эквивалентны.

Процедура группировки формально одинакова для всех разновидностей SSA. На основе разложения (3) процедура группировки делит все множество индексов  на  непересекающихся подмножеств .

Пусть  Тогда результирующая матрица , соответствующая группе , определяется как .Такие матрицы вычисляются для , тем самым разложение (3) может быть записано в сгруппированном виде:

.(7)

Процедура выбора множеств  и называется группировкой собственных троек. Для определения  в MS Excel используется лепестковая диаграмма, которая является аналогом графика в полярной системе координат, отображая распределение значений относительно начала координат. По особенностям представления сингулярных векторов на лепестковой диаграмме принимается решение о принадлежности их одной группе.

Этап диагонального усреднения. На последнем шаге базового алгоритма каждая матрица сгруппированного разложения переводится в новый ряд длины . Для произвольной матрицы X процедуру приведения ее к ганкелевому виду и последующему преобразованию в ряд (обозначим его как G^в) выразим следующим образом. Пусть  – матрица размера  с элементами , , . Положим ,  и . Пусть , если  и  в остальных случаях. Тогда диагональное усреднение переводит матрицу  в ряд  по формуле

(8)

Это выражение соответствует усреднению элементов матрицы вдоль побочных диагоналей : выбор  дает , для  получаем  и т. д. Применив диагональное усреднение к матрицам, полученным на этапе группировки, приходим к разложению исходного ряда в сумму  рядов.

Процедуру диагонального усреднения просто и наглядно предложено выполнить в MS Excel. Для этого матрица, подлежащая диагонализации, размещается на рабочем листе. Затем блок матрицы, следующий за первой строкой сдвигается вправо на одну позицию. В сдвинутом блоке также определяется блок, следующий за первой строкой, который сдвигается вправо на одну позицию. Процедура повторяется до тех пор, пока в очередном блоке не останется ни одной строки. Восстановленный ряд G^в определяется аналогично формуле (1) с использованием функции СРЗНАЧ() в MS Excel. Затем исследуется в пакете Statistica.