Применение общей схемы к исследованию функций

Теоретический материал, который требуется для изучения исследований функций с помощью производной уже известен учащимся. В данной теме фактически систематизируются знания учащихся, относящиеся к вопросам нахождения промежутков возрастания (убывания) и экстремумов, показывается общий метод получения результатов. Таким образом, изучение этой темы завершает рассмотрение теоретических вопросов, связанных с исследованием функций. Все положения, которые нужно отразить в решении задания на исследование, имеют теоретические обоснования, общие методы решения.

В ходе изучения этой темы учащиеся должны научиться проводить исследование функций по общей схеме и строить их графики. Построения графика функции необходимо начинать с исследования функции, которое состоит в том, что для данной функции:

1) находят ее область определения;

2) выясняют, является ли функция  четной или нечетной, является ли периодической;

3) точки пересечения графика с осями координат;

4) промежутки знакопостоянства;

5) промежутки возрастания и убывания;

6) точки экстремума и значения  в этих точках;

7) исследуют поведение функции в окрестности «особых» точек и при больших по модулю ;

На основании такого исследования строится график функции.

Исследование функции на возрастание (убывание) и на экстремум удобно проводить с помощью производной. Для этого сначала находят производную функции  и ее критические точки, а затем выясняют, какие из них являются точками экстремума.

Пример 1. Исследуем функцию  и построим ее график.

Проведем исследование по указанной схеме.

1) , так как - многочлен.

2) Функция  не является ни четной, ни нечетной

3) График  пересекается с осью ординат в точке  чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, надо решить уравнение , один из корней легко найти . Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Промежутки знакопостоянства не находим.

4) Найдем производную функции :

, поэтому критических точек, для которых  не существует, нет.

Заметим, что , если , т.е. при значениях аргумента, равных 0,-1 и 1. Рассматриваемая функция имеет три критические точки.

Составляем таблицу:

	+		−		−		+
		max				min

В первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. В третьей строке записаны выводы о ходе изменения данной функции. Критическая точка равная 0 функции  не является точкой экстремума [2].

Строим график функции (рис.1). Строить его удобно по промежуткам, которые указаны в таблице.

Пример 2. Исследовать функцию

1)

2) Функция четная, исследование ее можно проводить на промежутке .

3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат, т.е. решим уравнение . Пусть  тогда уравнение примет вид:  или , т.е.  или ,  не имеет решения. Получили две точки пересечения с осью абсцисс . График пересекает ось ординат в точке .

4) Найдем производную функции

5) Найдем критические точки функции:

а) , если , , или , или

б)  определена на всей

6) Определим знак производной на промежутках, найдем значения в точках -1, 0, 1. Полученные данные занесем в таблицу и построим график [2].

	−		+		−		+
		Min		max		min

Построим график данной функции (рис. 2):

Приведем примеры заданий для самостоятельной работы по исследованию функций.

 Исследуйте функцию и постройте ее график:

1)

2)

3)

4)

5)

После изучения данной темы учащимся предлагается контрольная работа.

Контрольная работа по теме «Производная и ее применение»

I вариант

1. Дана функция . Найдите:

а) промежутки возрастания и убывания функции;

б) точки экстремума;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. Постройте график функции .

3. Составьте уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой .

4. В какой точке касательная к графику функции  параллельна прямой ?

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

II вариант

1. Дана функция . Найдите:

а) промежутки возрастания и убывания функции;

б) точки экстремума;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. Постройте график функции .

3. Составьте уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой .

4. В какой точке касательная к графику функции  параллельна прямой ?

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке  [10].