Теоретические положения.

ФАКУЛЬТЕТ № 6

 

 

Курсовая работа

По дисциплине

«Анализ технического состояния БС РН и КА»

 

 

Тема : Синтез оптимальной ГПА технического состояния системы угловой стабилизации (СУС) КА по критерию минимума средних затрат с помощью МДП.

 

                                                                  Выполнил:  курсант            645 уч.гр.

                                                                                  еф-р                Габов Р.А.

                                                   Проверил: профессор    65  кафедры.

                                                                                      дтн           Дмитриев А.К.

 

2007 г.

Введение.

Задача синтеза оптимальных в том или ином смысле программ диагностирования может быть сформулирована и решена в рамках рассмотренных ранее агрегированных моделей или их аналогов. Пусть, например, в соответствии с моделью, представленной в таблице, задано упорядочен­ное множество технических состояний объекта.

Признака­ми являются обозначения наиболее ве­роятных исходов выполняемых проверок технических со­стояний или так называемые "модельные" исходы проверок в дан­ном состоянии.

Предположим, что для каждого технического состояния найдена соответствующая вероятность , т.е. вероятность пребывания объекта в работоспособном или неработоспособном состоянии, обуслов­ленное отказом какого-либо блока. Напомним, что под блоками понимаются любые функциональные элементы объекта, с точностью до которых производится распознавание дефектов.

Теоретические положения.

     

С учетом введенных обозначений формулу для определения математического ожидания затрат (средних затрат)  на распознавание ТС БС по данной программе можем записать в следующем виде:

                            .                         (1)

Задача синтеза оптимальной по затратам программы заключается в отыскании всех подмножеств , при которых показатель принимает минимальное значение. Эта задача решается соответствующим выбором проверяемых признаков. Так как все ветви исходят из начального ФС , то в качестве первого проверяемого признака во всех искомых подмножествах  будет выступать один и тот же признак. В зависимости от исхода его проверки выбираются последующие признаки. Последовательность случайных исходов проверок выбранных признаков определяет ветвь , по которой будет развиваться процесс распознавания ТС БС. Заметим, что этот процесс обладает марковским свойством, в соответствии с которым исходы  проверок, входящие в одну ветвь , являются независимыми событиями, а поэтому

                       ,                    (2)

где  – вероятность -го исхода проверки признака  в ФС .

Вероятность  определяется вероятностью  перехода ФС  в ФС  согласно отображению (3) и вычисляется по формуле

                                                 (3)

где знаком  обозначена длина соответствующего подынтервала;

                                                               (4)

В процедуре выбора проверяемых признаков формулы (1) и (2) непосредственно не могут быть использованы, так как фигурирующие в них множества  и  неизвестны. С помощью этих формул можно вычислить показатель средних затрат для уже составленной или заданной программы, в которой указанные множества определены. В процессе же составления оптимальной программы возникает необходимость вычислять этот показатель для всех гипотетических -подпрограмм искомой программы.

Под -подпрограммой понимается часть  графа , получаемая выделением в нем любой вершины  вместе с выходящими из нее путями и областью ее достижимости (множество вершин, достижимых из , в том числе и конечных вершин , ). Вершина  будет соответствовать началь­но­му ФС, а выходящие из нее пути – ветвям -подпрограммы. Каждая ветвь -подпрограммы есть продолжение одной из ветвей всей программы, проходящих через вершину . Поэтому обозначим ее , сохранив при этом номер ветви , которую она продолжает. Множество всех ветвей -подпрограммы обозначим через , а подмножество признаков , входящих в отдельную ветвь , – через . Тогда формулу для вычис­ления средних затрат на реализацию -подпрограммы можем записать в следующем виде:

                          ,                       (5)

где  – вероятность ветви , определяемая через исходные вероятности  из условия нормировки

                      .                   (6)

Очевидно, что

                   .                (7)

В частном случае, когда  ( -подпрограмма совпадает со всей программой), выполняются равенства , ,  и формула (5) переходит в формулу (1). Таким образом, формула (11) есть частный вид общей формулы (5), позволяющей оценивать средние затраты для любой ‑под­про­граммы ( ). Поэтому с ее помощью можем последовательно выбирать оптимальные признаки в каждом из фазовых состояний , начиная с тех, которые содержат два элемента , и завершая начальным состоянием , содержащим  элементов. Такая многошаговая процедура позволяет однозначно определить множества  и , которые необходимы для применения формулы (5). Основной недостаток при этом заключается в том, что, переходя к очередному ФС , содержащему большее число элементов, мы вынуждены выполнять заново все вычисления по формуле (5), причем по мере увеличения числа элементов в  сложность соответствующей -подпрограммы возрастает, а, следовательно, возрастает и тру­доем­кость вычислений.

Для устранения этого недостатка преобразуем формулу (5) в форму рекуррентного соотношения, позволяющего на каждом шаге выбора признаков использовать результаты вычислений на предыдущих шагах. С этой целью выделим первый проверяемый признак рассматриваемой -подпрограммы и обозначим его через . Цену  проверки этого признака запишем в виде отдельного слагаемого. Средние затраты на реализацию -подпрограммы, начинающейся с проверки признака , обозначим . Тогда вместо формулы (5) имеем

         

или с учетом формул (3.31) и (3.32)

           .        (8)

В полученном выражении второе слагаемое, стоящее после знака “+”, представляет собой средние затраты на реализацию той части -подпрограммы, которая содержит область достижимости вершины . Эта часть получается удалением из -подпрограммы начальной вершины  с выходящими из нее дугами – исходами проверки  признака . Вершины, инци­дент­ные удаленным дугам, представляют собой ФС , получаемые из начального ФС  при различных исходах выполняемой в нем проверки  согласно отображению, то есть

                   , если ,

где

                                 .

Каждая вершина  ( ) с исходящими из нее путями и ее область достижимости составляют часть -подпрограммы, которую назовем -подпрограммой ( ). Поэтому часть выражения (8), стоящую после знака “+”, можем представить в виде суммы из  слагаемых, каждое из которых соответствует отдельной -подпрограмме, то есть

        ,     (9)

где  – -я ветвь, а  – множество всех ветвей ‑под­про­грам­мы.

Вынесем за знак “ ”, стоящий в формуле вторым, сомножитель

                             ,

характеризующий вероятность -го исхода ( ) проверки признака  в ФС . В результате получим

    , (10)

где  – вероятность реализации -й ветви -подпрограммы.

Ведем обозначение

                        .                    (11)

Это выражение, как видно из сопоставления его с формулой (5), определяет средние затраты на реализацию ‑под­про­грам­мы. Подставив его в формулу (10), получим искомое рекуррентное соотношение

                        .                   (12)

Вероятность  в этом соотношении вычисляется по формуле (3).

Если при некотором -м исходе проверки признака  ( ) в фазовом состоянии  получается конечное ФС , , то в формуле (11) подмножество  ста­но­вится пустым (в конечном ФС проверки не выполняются), а поэтому принимается

                                       .                                  (13)

В качестве оптимального в ФС  выбирается признак , удовлетворяющий критерию.

Чтобы реализовать рекуррентную процедуру выбора оптимальных признаков, необходимо прежде всего определить множество  всех промежуточных фазовых состояний, которые могут возникнуть при различных исходах проверок допустимых признаков . В результате выполнения рекуррентной процедуры выбора оптимальных признаков найдем все необходимые фазовые состояния  и соответствующие им подмножества  допустимых признаков.

Для каждого ФС  выберем из подмножества  оптимальный признак. На первом шагенайдем оптимальные признаки в состояниях . Очевидно, что при проверке любого признака  из состояния  получаются только конечные состояния , , для которых . Согласно формуле (12) получим , то есть средние затраты на реализацию -под­про­граммы определяются только ценой проверяемого признака, так как он единственный в данной подпрограмме. Поэтому выберем по критерию в каждом состоянии  самый “дешевый” признак . Запомнив выбранные признаки и соот­вет­ствующие им показатели , перейдем к второму шагу – выбору оптимальных признаков в состояниях .

Среди ФС, полученных из состояний  при различных исходах проверок признаков , не может быть таких, которые содержат более двух элементов. Но для каждого из возможных ФС  на предыдущем шаге определено оптимальное значение , которое примем равным  и подставим в соотношение (12). Если же при некотором -м исходе проверки  ( ) получается конечное ФС, то, как и прежде, возьмем согласно формуле (13) . В результате вычислим средние затраты  на реализацию  – подпрограммы, начи­нающейся с проверки признака . Аналогично вычисляются сред­ние затраты и для остальных признаков из подмножества . Выберем из него признак , которому соответствует согласно критерию минимальное значение . В таком же порядке найдем оптимальные признаки и для других состояний .

Порядок выбора оптимальных признаков сохраняется и на последующих шагах, причем на каждом из них рекуррентно используются результаты вычислений, полученные на пред­шест­вующих шагах. На последнем шаге выбирается оптимальный признак  для начального состояния . Он принимается в качестве первого проверяемого признака синтезируемой про­граммы. Соответствующее ему значение  дает оценку средних затрат на реализацию этой программы. Выполнив дальнейшие действия завершимсинтез гибкой программы анализа по критерию минимума средних затрат. В резуль­тате найдем все упорядоченные подмножества , задающие состав и очередность проверки признаков  для рас­позна­вания конкретного технического состояния  БС. Вместе с тем мы найдем все ветви  программы, задающие условия перехода от одного проверяемого признака к другому в зави­симости от исходов проверки первого. Эти условия позволяют при распознавании привлекать именно то подмножество , которое объективно необходимо для идентификации состояния БС. Найденные подмножества  в совокупности с указанными условиями образуют гибкую программу распознавания ТС БС. Так как при этом соблюдается принцип оптимальности Беллмана, то синтезированная нами гибкая программа является оптимальной в смысле выбранного критерия, а именно: она задает состав признаков и после­до­вательность их проверки для распознавания любого ТС БС с минимальными в среднем затратами. Правильность составления программы можем проверить, вычислив по формуле (1) средние затраты  на распознавание ТС БС с помощью этой про­грам­мы. Если окажется, что , то программа составлена правильно.

 

 

Таблица работоспособных и неработоспособных состояний обусловленные одиночными отказами блок.

Технические состояния	Проверки							Вероятности технических состояний
	π 1	π 2	π 3	π 4	π 5	π 6	π 7
	1	1	1	1	1	1	1	0,57
	0	0	0	0	0	0	0	0,1
	1	0	0	0	0	0	0	0,04
	1	1	0	1	1	0	0	0,06
	1	1	0	0	1	0	0	0,04
	1	1	0	1	0	0	0	0,08
	1	1	1	1	1	0	1	0,06
	1	1	1	1	1	1	0	0,05
Цена проверки C(πj)	7,5	4,6	9,3	10,8	10,8	3,5	3,5