РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ГРАФАХ

ПОЛНЫЙ ГРАФ. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Граф G состоит из конечного непустого множества V, содержащего р вершин *), и заданного множества X, содержащего q неупорядоченных пар различных вершин из V. Каждую пару *= {ut v} вершин в X называют ребром графа G и говорят, что х соединяет uhv. Мы будем писать x=uv и говорить, что и v — смежные вершины (иногда это обозначается uadjv); вершина и ребро х инцидентны, так же как v и х. Если два различных ребра хну инцидентны одной и той же вершине, то они называются смежными. Граф с р вершинами и q ребрами называется (pt ф-графом. A,0)-граф называется тривиальным. Граф полностью определяется или его смежностями, или его инциденциями. Указанную информацию о графе удобно представлять в матричной форме. Действительно, с данным графом, помеченым соответствующим образом, связаны несколько матриц, в том числе матрица смежностей, матрица инциденций, матрица циклов и матрица коциклов. Часто эти матрицы удается использовать при выявлении определенных свойств графа. Классическим результатом о графах и матрицах является матричная теорема о деревьях, в которой дается число остовов любого помеченного графа. В данной главе рассматриваются также матроиды, связанные с матрицами циклов и матрицами коциклов.

Матрицей смежностей A = ||а(i,j)|| помеченного графа G с р вершинами называется (рхр)-матрица, в которой а(i,j)=\9 если вершина vt смежна с uj9 и а(i,j)~0 в противном случае. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между помеченными графами с р вершинами и симметрическими бинарными (рхр)т матрицами с нулями на диагонали.

Исходные параметры

Матрица смежностей

Исходные параметры

1. Матрица смежностей инвариантного и полного графа

Этапы построения модели

1. Составление матрицы смежностей

2. Составление матрицы смежностей инвариантного графа

3. Составление матрицы смежностей полного графа

4. Построение графов

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ГРАФАХ

Матрицей смежностей A = ||а(i,j)|| для некоторого помеченного графа G с р вершинами называется (рхр)-матрица, в которой а(i,j)=1 если вершина v_i смежна с v_j и а(i,j)=0 в противном случае. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между помеченными графами с р вершинами и симметрическими бинарными (рхр) – матрицами с нулями на диагонали.

Рисунок 1 Помеченный граф и его матрица смежностей

Матрицей смежностей B = ||b(i,j)|| для инварианта помеченного графа G с р вершинами называется (рхр)-матрица, в которой b(i,j)=1 если a(i,j)=0 и b(i,j)=0 в противном случае.

Рисунок 2 Инвариант помеченного граф и его матрица смежностей

Матрицей смежностей C = ||c(i,j)|| для полного графа G с р вершинами называется (рхр)-матрица, в которой с(i,j)=0 если i=j и c(i,j)=1 в противном случае.

Рисунок 3 Полный граф и его матрица смежностей