Раскрытие статической неопределимости

Данная система дважды статически неопределима (две дополнительные связи), поэтому канонические уравнения имеют вид:

 

 

Коэффициенты при неизвестных, увеличенные в EI раз:

 

 

Проверка:

 

 

Свободные члены, увеличенные в EI раз:

 

;

Проверка: ;

 

Канонические уравнения имеют вид:

 

 

Определение опорных реакций

 

Построение эпюр внутренних силовых факторов

 

Эпюра Q. Эпюра строится по формуле . Вычисляем значения Q в характерных точках:

 

и строим эпюру Q.

Эпюра M. Эпюра строится согласно выражению

 

.

 

Эпюра N. Деформацию сжатия испытывают стержни BC и CD. Продольная сила в пределах каждого участка постоянна и принимает следующие значения:

 

 

Проверка решения

Статическая проверка

Узел B

 

 

Узел C

 

Кинематическая проверка. Проверка состоит в выполнении условия

 

.

 

Расчет нагрузки на элементы

Определение геометрических характеристик сечения

 

а)Координаты центра тяжести.

 

№ п/п	vi	Ai	vi Ai
1	10t	32t2	320t3
2	4t	16t2	64t3
Σ		48t2	384t3

 

uc=0, vc= =384t3/48t2=8t.

 

б) Моменты инерции относительно главных центральных осей x, y.

Предварительно вычисляем осевые моменты инерции отдельных частей относительно собственных центральных осей ξiηi

 

I = 8t·(4t)3/12 = 42,67t4,

I = 2·t·(8t)3/12 = 85,33t4,

I = 4t·(8t)3/12 = 170,67t4,

I = 2·8t·t3/12 = 1,33t4.

 

Остальные вычисления представим в табличной форме.

 

№ п/п	xi	yi	Ai	Ix=Σ(I + Ai)			Iу=Σ(I + Ai)
				I	Ai	I	I	Ai	I
1	0	2t	32t2	42,67t4	128t4	213,33t4	1,33t4	0	1,33t4
2	1,5t	-4t	16t2	85,33t4	256t4	298,67t4	170,67t4	36t4	206,67t4
Σ			48t2	128t4	384t4	512t4	172t4	36t4	208t4

в) Главные радиусы инерции

 

ix2 = Ix/A = 512t4/(48t2) = 10,67t2;

iy2 = Iy/A = 208t4/(48t2) = 4,33t2.

 

Построение ядра сечения. Для фигуры с прямолинейными сторонами ядро сечения представляет собой выпуклый многоугольник, координаты вершин которого определяются формулами:

 

xяi= – iy2/ai , yяi= – ix2/bi .

 

Здесь ai и bi – отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях координат, при ее обкатывании вокруг контура сечения. Выполняя необходимые вычисления в табличной форме, получим ядро сечения.

 

Положение нейтральной линии	Отрезки, отсекаемые на осях		Координаты вершин ядра сечения
	ai	bi	xяi	yяi
1–1	∞	4t	0	–2,668t
2–2 (2'–2')	–4t (4t)	∞	1,083t (–1,083t)	0
3–3 (3'–3')	–4t (4t)	–16t	1,083t (–1,083t)	0,667t
4–4	∞	–8t	0	1,334t

 

Определение размеров сечения

 

Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях координат

 

ао= – iy2/xf = –4,33t 2/(4t) = –1,083t;

bо= – ix2/yf = –10,67t 2/0 = ∞.

 

Проводим нейтральную линию nn и устанавливаем опасные точки. Это будут точки 1 и 6 как наиболее удаленные от нейтральной оси.

 

Из условия прочности на растяжение

 

σmax = ,

σmax = ,

откуда мм.

 

Из условия прочности на сжатие

 

σmin = ,

σmin = ,

откуда

 

Следовательно, t = max  = tp = 27,3 мм. Принимаем по ГОСТ 6636 =28 мм. Для ближайшего меньшего размера ( =26 мм) будет перенапряжение 15,7%, что недопустимо.

 

Построение эпюры нормальных напряжений. Исходя из принятых размеров сечения, находим напряжения в опасных точках

 

МПа;

МПа

и строим эпюру σ.

 

Пространственные рамы