Борновское приближение. Формула Резерфорда. Атомный форм-фактор

Борновское приближение

Рассматриваем потенциал как возмущение. Для получения амплитуды рассеяния в первом порядке по потенциалу взаимодействия, подставим в (1.5) невозмущенную волновую функцию

и получим

Критерий применимости

 , что дает для сферически симметричного потенциала условие

Оно приводится к

Иными словами, характерная потенциальная энергия |U(a)| должна быть мала либо (для медленных частиц) по сравнению с характерной энергией  либо (для быстрых частиц) по сравнению с  (в последнем случае |U(a)| может быть и не мала по сравнению с ).

Критерий применимости борновского приближения для рассеяния медленных частиц  соответствует тому, что в случае притягивающего потенциала притяжение недостаточно для образования связанного состояния. В случае быстрых частиц условие  соответствует тому, что неопределенность в энергии, связанная с временем пролета, должна быть много больше потенциала взаимодействия; условие ka >> 1 обеспечивает здесь применимость квазиклассического рассмотрения.

Формула Резерфорда

Для поля U(r) = −α/r критерий применимости борновского приближения  Борновская амплитуда равна

а сечение рассеяния

совпадает с классическим. Отметим без доказательства, что борновская формула для сечения совпадает с точной (это верно лишь в нерелятивистском приближении). Полное сечение равно бесконечности.

Атомный форм-фактор

При упругом рассеянии быстрых электронов на атоме последний можно рассматривать как источник статического потенциала ϕ(r), создаваемого средним распределением зарядов в атоме

Так как  то из

следует, что . Таким образом,

Здесь введен так называемый атомный форм-фактор:

При qa >> 1, то есть при углах рассеяния θ >> 1/ka, форм-фактор |F|<<|Z | и сечение совпадает с резерфордовским. Это вполне естественно: большие углы рассеяния соответствуют малым прицельным параметрам, при которых налетающая частица рассеивается ядром, практически неэкранированным.

При qa << 1 имеем

В этой области дифференциальное сечение

Таким образом, при рассеянии на атоме полное сечение оказывается (в отличие от резерфордовского) конечным.

Пример

Атом водорода. ,поэтому

Указанному распределению зарядов соответствует потенциальная энергия

В классической механике в таком поле σ = ∞, что находится в резком противоречии с квантовым (правильным!) результатом.