Доказательство существования и единственности обобщённого решения уравнения Лапласа

Теорема 3 (Рисс). Пусть  – гильбертово пространство. Для любого линейного ограниченного функционала  заданного всюду на  существует единственный элемент  такой, что для всех

При этом

Доказательство приведено в [1, стр. 171].

Теорема Рисса эффективно применяется в теории разрешимости граничных задач для уравнений с частными производными. Будем говорить, что гильбертово пространство  вложено в гильбертово пространство  если из  следует, что  причём существует постоянная  такая, что для всех

 

                                                     (2.1)

 

Имеет место следующее следствие из теоремы Рисса.

Теорема 4. Если гильбертово пространство  вложено в гильбертово пространство  то для каждого элемента  найдётся единственный элемент  такой, что для всех  имеет место тождество

Тождество это определяет оператор  такой, что  при этом

Доказательство. При каждом фиксированном  выражение  при всевозможных  определяет линейный ограниченный функционал на  Линейность функционала очевидна. Его ограниченность вытекает из оценки

 

 

По теореме Рисса существует единственный элемент  такой, что  Тем самым всюду на  задан линейный оператор  Далее, из доказанного выше неравенства следует, что

 

 

Полагая здесь  получим  то есть  и, значит,  ограничен. Теорема доказана.

В качестве приложения доказанной теоремы и пространств Соболева докажем существование и единственность обобщённого решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. В замкнутой ограниченной односвязной области  с достаточно гладкой границей  рассмотрим следующую граничную задачу:

 

      (2.2)

 

                                                                    (2.3)

 

Предположим, что правая часть  непрерывна в  по совокупности переменных. Функция  называется классическим решением задачи (2.2) – (2.3), если  непрерывна как функция трёх переменных в  имеет в  непрерывные производные, входящие в левую часть (2.2), удовлетворяет в  уравнению (2.2) и равна нулю на  то есть удовлетворяет граничному условию (2.3).

Пусть  – классическое решение задачи (2.2) – (2.3), а  непрерывна в  равна нулю на  и непрерывно дифференцируема в  тогда для любой такой  справедливо следующее интегральное тождество:

 

                       (2.4)

 

Для доказательства этого тождества воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского:

 

 

Примем  и получим

 

 

Поскольку

 

 

а  то получаем (2.4).

Пусть теперь  а интегралы (2.4) понимаются в смысле Лебега. Функция  называется обобщённым решением краевой задачи (2.2) – (2.3), если для любой функции  выполняется интегральное тождество (2.4).

Докажем, что для любой правой части  обобщённое решение краевой задачи (2.2) – (2.3) существует и единственно.

Для этого заметим, что гильбертово пространство  вложено в гильбертово пространство  так как, по определению  всякая функция  принадлежит также и  и справедлива оценка для любой  (см. п. 1.5):

 

 

Следовательно, по теореме 4 для всякой функции  существует единственная функция  такая, что для всех

 

 

а это и есть интегральное тождество (2.4).

Заключение

 

Таким образом, мы рассмотрели пространства Соболева, их основные свойства и применение в математической физике.

 

 

Список литературы

 

1. Треногин В.А. Функциональный анализ: Учебник. – 3-е изд., исп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 488 с.

2. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. – 3-е изд., перераб. и доп. / Под ред. О.А. Олейник. – М.: Наука. Гл. Ред. физ.-мат. лит., 1988. – 336 с.