Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме

 

Возможность существенного упрощения решения задачи анализа колебаний в электрических цепях операторным методом основывается на том, что для -изображений колебаний формально верны законы Кирхгофа и Ома.

Действительно, согласно первому закону Кирхгофа:

 

 

Если обе части этого равенства подвергнуть преобразованию Лапласа, то оно переходит в равенство:

,

 

и следовательно, алгебраическая сумма -изображений токов в любом узле цепи равна нулю. Аналогично доказывается справедливость второго закона Кирхгофа для операторных напряжений в контуре:

 

.

 

При выводе закона Ома в операторной форме будем полагать, что реактивные элементы находятся при ННУ (конденсатор разряжен, через катушку индуктивности не протекает ток).

Рассмотрим соотношения в элементах электрических цепей.

Элемент резистивного сопротивления.

 – операторное резистивное сопротивление,

 

 – резистивная операторная проводимость.

 

 

Таким образом, операторное напряжение на резистивном сопротивлении равно произведению сопротивления на величину операторного тока.

Элемент индуктивности.

 – операторное индуктивное сопротивление,

 

 – операторная индуктивная проводимость.

 

 

Следовательно, операторное напряжение на индуктивности равно произведению операторного индуктивного сопротивления на величину операторного тока.

Элемент емкости.

 – операторное емкостное сопротивление,

 

 – операторная емкостная проводимость.

 

 

Операторное напряжение на емкости равно произведению операторного емкостного сопротивления на величину операторного тока.

Выражения

 

 

представляют закон Ома в операторной форме.

Выводы:

– законы Кирхгофа и Ома справедливы и в операторной форме, причем закон Ома справедлив только при нулевых начальных условиях;

– все ранее изученные методы анализа электрических цепей (метод контурных токов, метод узловых напряжений, метод эквивалентного генератора и др.) справедливы и в операторной форме.

 

Операторные схемы замещения реактивных элементов
при ненулевых начальных условиях

 

Часто коммутация осуществляется в момент времени, когда реактивные элементы обладают энергией. В этом случае они находятся при ненулевых начальных условиях и к ним нельзя применить закон Ома в операторной форме. Для устранения этого препятствия используют прием, суть которого состоит в том, что физически один реактивный элемент искусственно заменяют двумя: операторным источником, отражающим энергию реактивного элемента на момент коммутации, и самим реактивным элементом, но находящимся теперь уже при нулевых начальных условиях. Такое изображение называется схемой замещения. Ее можно получить, используя свойства преобразования Лапласа:

 

.

Так, для индуктивности с током схемы замещения имеют вид, показанный на рисунке 1.

 а)                                    б)                                     в)

Рис. 1

 

Они являются следствием преобразования следующих выражений:

 

;

 

Здесь следует иметь в виду два обстоятельства: направление операторного тока должно совпадать с направлением тока через индуктивность в момент непосредственно предшествующий коммутации и второе, что реально существует один элемент, поэтому операторный ток через индуктивность в схеме замещения определяется в общей ветви (рис. 1б).

Заряженная емкость отображается схемами замещения, показанными на рисунке 2б, в.

 а)                                        б)                                 в)

Рис. 2

 

Они являются следствием преобразования следующих выражений:

 

,

 

.

 

Здесь напряжение операторного источника совпадает с напряжением на емкости до коммутации, а операторное напряжение на емкости определяется между зажимами 1 – 1¢.

Применение операторных схем замещения реактивных элементов, находящихся при ненулевых начальных условиях, дает возможность применять закон Ома в операторной форме, что широко используется на практике и, в частности, при рассмотрении свободных колебаний в электрических цепях. Известно, что такие колебания возникают за счет энергии, запасенной реактивными элементами при отключении внешних источников. Следует иметь в виду, что указанная коммутация может осуществляться как путем механического отключения, так и путем гашения источников. В последнем случае источник напряжения заменяется коротким замыканием, а источник тока – обрывом.

При решении задач приходится осуществлять переход от обычной к операторной схеме. Если реактивные элементы находятся при ННУ, то такой переход не вызывает особых затруднений. Например, на рисунке 3, а показана исходная схема, а на рисунке 3, б – эквивалентная ей операторная.

 

                     а)                                                      б)

Рис. 3

 

Если же реактивные элементы находятся при ненулевых начальных условиях, то в операторной схеме они должны быть отображены схемами замещения.

Пример.

Пусть в цепи, изображенной на рисунке 4 в момент замыкается ключ "К". Требуется определить эквивалентную ей операторную схему.

 

Рис. 4

 

Так как реактивные элементы в данном случае находятся при ненулевых начальных условиях, то предварительно следует определить  и . Для этого изобразим эквивалентную схему цепи при  (рис. 5).

Рис. 5

 

Видно, что ; .

 

Таким образом ;  и соответствующая этому схема показана на рисунке 6.

 

Рис. 6

 

Далее находится требуемая реакция в операторной форме, а затем осуществляется переход в область реального времени.

Вывод: нахождение реакций при ненулевых начальных условиях требует применения схем замещения в операторной форме и является более сложной задачей, чем при ННУ.

Литература

 

1. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. - М.: Радио и связь, 1986.

2. Шалашов Г. В. Переходные процессы в электрических цепях. – Орел: ОВВКУС 1981.