Построение графика теоретической плотности распределения.

Чтобы выписать плотность теоретического (предполагаемого) распределения, нужно определить значения параметров  и а и подставить их в соответствующую формулу. Все параметры тесно связаны с числовыми характеристиками случайной величины, т.е.

                         MX = а , 

                         DX = σ²

Поскольку значения математического ожидания и дисперсии неизвестны, то их заменяют соответствующими точечными оценками, т.е. используют (уже упомянутые ранее) приближенные равенства MX » , DX » s² , что позволяет найти значения параметров распределения.

    По исходным данным была выдвинута гипотеза о нормальном распределении изучаемой случайной величины. Найдем параметры этого распределения:

     _

     x = а,                       15,9 = а,                            а=15,9

     s²= σ²                       53,78 = σ²                         σ=7,33

Следовательно, плотность предполагаемого распределения задается формулой

F(x)= [1/(7,33*√2π)]*e^{[-(x-15,9)2 / 2*(7,33)2)]}=0.054*e^(0,009/((x-15,9)^2))

Теперь необходимо вычислить значения f(x_i) плотности f (x) при x=x_i (в серединах интервалов) Для этого воспользуемся следующей схемой:

значения фунцкии

при u=u_i находятся, например, с помощью таблицы, имеющейся в любом учебнике или задачнике по теории вероятностей и математической статистике.

                                          =15,9; s = 7,33

x i	ui = xi- x / s	φ (u i )
1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5 31,5	-1,96 -1,56 -1.15 -0,74 -0.33 0.08 0.49 0,90 1.31 1,72 2.13	0,0584 0,1182 0,2059 0,3034 0,3778 0,3977 0,3538 0,2661 0,1691 0,0909 0,0413	0,008 0,016 0,028 0,041 0,052 0,054 0,048 0,036 0,023 0,012 0,006

Далее, на одном чертеже строим гистограмму и график теоретической плотности распределения: гистограмма была построена ранее, а для получения графика плотности наносим точки с координатами (x_i ; f(x_i)) и соединяем их плавной кривой.

5.Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона.

Ранее была выдвинута гипотеза о законе распределения рассматриваемой случайной величины. Сопоставление статистического распределения (гистограмма) и предполагаемого теоретического (графика плотности) показывает наличие некоторых расхождений между ними. Поэтому возникает естественный вопрос: чем объясняются эти несовпадения? Ответить на него можно двояко:

1) Указанные расхождения несущественны и вызваны ограниченным количеством наблюдений и случайными факторами – случайностью результата единичного наблюдения, способа группировки данных и т.п. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении считается правдоподобной и принимается как не противоречащая опытным данным.

2) Указанные расхождения являются существенными (неслучайными) и связаны с тем, что действительное распределение случайной величины отличается от предполагаемого. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении отвергается как плохо согласующаяся данными наблюдений.

     Для выбора первого или второго варианта ответа и служат так называемые критерии согласия. Словари толкуют слово критерий (от греч. kriterion – средство для суждения) как признак, на основании которого производится оценка, определение и классификация чего-либо.

     Существуют различные критерии согласия: К. Пирсона, А.Н. Колмогорова, Н.В. Смирнова, В.И. Романовского и другие. Мы рассмотрим лишь один из них – критерий Пирсона, называемый также критерием c² («хи - квадрат»). (К. Пирсон (1857 - 1936) – английский математик, биолог, философ – позитивист.)

      Критерий Пирсона выгодно отличается от остальных, во – первых, применимостью к любым (дискретным, непрерывным) распределениям и, во – вторых, простотой вычислительного алгоритма.

      Правило проверки статистических гипотез с помощью критерия Пирсона будет объяснено на примерах.