Нахождение показателей Ляпунова для особых точек. Определение характера особых точек.

1) точка O (0,0). Положим в уравнениях (2.3) и (2.4) ,  и приравняем левые части к нулю.

В итоге получим:

= ,                     (2.8)

                                    (2.9)

где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малым смещениям  и . В результате получим

                                                             (2.10)

                                                             (2.11)

Условие разрешимости системы имеет вид:

,

D =                                                        (2.12)

= .

Таким образом видимо, что корни рациональны и имеют разные знаки. Следовательно точка О является седлом.

2) Точка . Положим в уравнениях (2.3) и (2.4) ,  и приравняем левые части к нулю.

В итоге получим:

= ,                        (2.13)

                                        (2.14)

где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малым смещениям  и . В результате получим

                                                                  (2.15)

                                                           (2.16)

В итоге ляпуновские показатели для точки S будут следующими:

= .                                                                       (2.17)

Таким образом видно, что корни также рациональны и имеют разные знаки. Следовательно, точка S является седлом.

2) Точка . Положим в уравнениях (2.3) и (2.4) ,  и приравняем левые части к нулю.

В итоге получим:

= ,       (2.18)

                                             (2.19)

где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малым смещениям  и . В результате получим

                                                (2.20)

                                            (2.21)

В итоге ляпуновские показатели для точки S будут следующими:

= .                                               (2.22)

Проведем анализ полученных результатов. С учетом того, что в формуле (2.22) присутствует радикал то можно сделать вывод, что при значениях параметра , ограниченных сверху величиной

= ,                                                                   (2.23)

ляпуновские показатели вещественны и отрицательны а с ростом до значений превышающих критическое, они становятся комплексными с отрицательной действительной частью. Следовательно, в этих пределах точка F представляет устойчивые узел и фокус соответственно.

Можно сделать вывод, что системы, в которых предпочтителен колебательный режим реализуются, если интенсивность процессов аннигиляции жертвы мала по сравнению с интенсивностью процесса ее поглощения хищником. С другой стороны, характерное время автономной эволюции хищника должно быть малым в сравнении с соответствующим временем для жертвы.

Построение фазовых портретов

Для построения фазовых портретов были использованы слабый численный метод Рунге-Кутта 4 порядка точности. Среда реализации – математический пакет Matlab. Для получения данных, численно интегрировалась обезразмеренная система дифференциальных уравнений (2.3), (2.4). Полученные результаты изображены на рис. 2.1-2.2.

Рисунок 2.1. — Фазовый портрет системы «Хищник-жертва»: режим регрессии.

Рисунок 2.2. — Фазовый портрет системы «Хищник-жертва»: режим регрессии.

Волны пластической деформации

Постановка задачи

Необходимо получить уравнение с безразмерными величинами, определить координаты особых точек. Найти показатели Ляпунова для особых точек, определить характер их устойчивости. Построить фазовые портреты системы.