Принятие решений в условиях неопределенности

Задание:

Рассмотреть задачу принятия решений в условиях неопределенности, исходные данные:

0	8	12	24
1/4	1/4	1/3	1/6

0	2	4	16
1/3	1/3	1/6	1/6

 

-6	-2	0	-6
1/4	1/4	1/3	1/6

-6	-5	-4	3
1/3	1/3	1/6	1/6

 

 

Решение:

Предположим, что ЛПР (Лицо, Принимающее Решения) рассматривает четыре возможных решения. . Ситуация неопределенна, наличествует какой-то из вариантов .  Если будет принято -e решение, а ситуация есть -я , то фирма, возглавляемая ЛПР, получит доход .  Матрица   - матрица последствий (возможных решений) задана: 

Для того, чтобы оценить риск, который несет -e решение,  задана матрица рисков

Составим матрицу рисков. Имеем q ₁ =0; q ₂ =8; q ₃ =12; q ₄ =24. Следовательно, матрица рисков есть:

Ситуация полной неопределенности характеризуется отсутствием какой бы то ни было дополнительной информации. Существуют правила-рекомендации по принятию решений в этой ситуации:

Правило Вальда (правило крайнего пессимизма). Рассматривая -e решение будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т.е. приносящая самый малый доход .

Но теперь уж выберем решение  с наибольшим . Итак, правило Вальда рекомендует принять решение , такое что

 Так, в нашей задаче, имеем  a ₁ =0;  a ₂ =-6;  a ₃ =0;  a ₄ =-6. Теперь из этих чисел находим максимальное. Это – 0 . Значит, правило Вальда рекомендует принять 1-ое или 3-е решение.

Правило Сэвиджа (правило минимального риска). При применении этого правила анализируется матрица рисков . Рассматривая -e решение будем полагать, что на самом деле складывается ситуация максимального риска

Но теперь уж выберем решение  с наименьшим . Итак, правило Сэвиджа рекомендует принять решение , такое что

Так, в нашей задаче , имеем  b ₁ =0; b ₂ =30; b ₃ =8; b ₄ =21. Теперь из этих чисел находим минимальное. Это – 0. Значит правило Сэвиджа рекомендует принять 1-ое решение.

Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации). Принимается решение , на котором достигается максимум

где . Значение  выбирается из субъективных соображений. Если  приближается к 1, то правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближении  к 0, правило Гурвица приближается к правилу "розового оптимизма". При  правило Гурвица рекомендует 1-ое решение:

 

1/2·(0)+1/2·24= 12

1/2· (-6)+1/2·0= -3

1/2· (0)+1/2·16= 8

1/2· (-6)+1/2·3= -3/2

 

Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности  того, что реальная ситуация развивается по варианту . Именно такое положение называется частичной неопределенностью. Как здесь принимать решение? Можно выбрать одно из следующих правил.

Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Доход, получаемый фирмой при реализации -го решения, является случайной величиной  с рядом распределения

		…
		…

 

Математическое ожидание  и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый также . Итак, правило рекомендует принять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход.

В схеме из предыдущего п. вероятности есть (1/4, 1/4, 1/3, 1/6). Тогда

Q 1= 0*1/4+8*1/4+12*1/3+24*1/6=10

Q 2= -6*1/4-2*1/4+0*1/3-6*1/6= -3

Q 3= 0*1/4+2*1/4+4*1/3+16*1/6= 4,5

Q 4= -6*1/4-5*1/4-4*1/3+3*1/6= -43/12≈ -3,58

Максимальный средний ожидаемый доход равен 10, что соответствует 1-му решению.

Правило минимизации среднего ожидаемого риска. Риск фирмы при реализации -го решения, является случайной величиной  с рядом распределения

 

		…
		…

 

Математическое ожидание  и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также . Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск.

Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше вероятностях. Получаем:

R₁=0*1/4+0*1/4+0*1/3+0*1/6=0

R₂=6*1/4+10*1/4+12*1/3+30*1/6=13

R₃=0*1/4+6*1/4+8*1/3+8*1/6=11/2=5,5

R₄=6*1/4+13*1/4+16*1/3+21*1/6=163/12 ≈13,58

 Минимальный средний ожидаемый риск равен 0, что соответствует 1-му решению.

Нанесем средние ожидаемые доходы и средние ожидаемые риски  на плоскость – доход откладываем по вертикали, а риски по горизонтали (см. рис.):

 

Получили 4 точки. Чем выше точка , тем более доходная операция, чем точка правее – тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать                           точку выше и левее. Точка   доминирует точку , если                                            и  и хотя бы одно из этих неравенств строгое. В нашем случае                                            1-ая операция доминирует все остальные.                                        

Точка, не доминируемая никакой другой называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбрать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето. В нашем случае, множество Парето, т.е. оптимальных по Парето операций, состоит только из одной 1-ой операции.

ж) Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар  дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть . Тогда получаем:

f ( Q 1)=2*10-0 =20

f ( Q 2)=2*(-3)-13= -19

f ( Q 3)=2*4,5-5,5=3,5

f ( Q 4)=2*(-43/12)-163/12= -83/4= -20,75

Видно, что 1-ая операция – лучшая, а 4-ая – худшая.