Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье

 

Найти функцию U, удовлетворяющую уравнению:

 внутри круга

И граничному условию

 на границе круга,

Где - заданная функция, - полярный угол.

 

Введем полярную систему координат  с началом в центре круга.

- полярные координаты.

Уравнение (1) в полярных координатах имеет вид

 

 

Решим уравнение методом разделения переменных, то есть будем искать частное решение уравнения (1), вида

 

 

Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение (3), получим

 

 

Отсюда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:

 

Определим знак :

1 случай. Пусть  например

Рассмотрим уравнение (5)

 

 

Характеристическое уравнение имеет вид

 

 

 

Это решение не подходит, так как при изменении угла  на величину  однозначная функция  должна вернуться к исходному значению  (условие периодичности).

Отсюда следует, что  является периодической функцией угла  с периодом .

2 случай Пусть , тогда

 

 

 - это решение подходит для уравнения (5) системы при условии, что А=0.

Рассмотрим уравнение (4) системы:

 

 

Пусть , тогда:

 

 

 

 

Таким образом, получаем: - решение уравнения в общем случае.

3 случай Пусть .

Решение уравнения (5):

 причем q .

Рассмотрим уравнение (4) системы:

 

 

Функцию  будем искать в виде

Подставим  в уравнение (4):

 

 

Следовательно, - решение уравнения, где C и D-постоянные. Для решения внутренней задачи надо положить , так как, если , то функция  обращается в бесконечность при и не является гармонической функцией внутри круга. Итак, частные решения нашей задачи найдены:

 

,

 

вид общего решения.

Удовлетворим краевому условию:

 

 

Считая , что  задана как функция угла , возьмем ее разложение в ряд Фурье

 

 

Подставляя выражения для коэффициентов Фурье в формулу (6) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим

 

 

Произведем следующие тождественные преобразования:

 

Подставляя полученный результат в равенство (8), получаем:

 

 

интегральная формула, дающая решение задачи.

 

 

 

Ядро Дирихле.

 

 

Заключение

 

Таким образом решения уравнения Лапласа очень гладкие они не имеют шишки максимумами или минимумами в R и, по сути "интерполировать" плавно между их значениями на границах Р. Докажем это важный факт, как применение теоремы о дивергенции.

Этот результат также следует, что если мы знаем, дивергенция вектора V и его ротора во всем мире, эти дифференцируемы всюду, и V обращается в нуль на бесконечности, то V определяется однозначно. Доказательство окна (если есть два решения V и V 'с тем же дивергенция и ротор, то на применении двойных поперечных личность продукт, который мы находим, что каждая компонента их разность подчиняется по уравнению Лапласа всюду. Его значение нигде, то его среднее значение по окружности на бесконечности, которая равна 0 по предположению. огромный же вывод справедлив, если V и V "должны вести себя на бесконечности таким же образом, так что V - V 'к 0 для больших аргументов.

 

 

Список использованной литературы

 

1.Эдвард Ч.Г., Пенни Д.Э. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB. 3-е изд.-М.ООО "И.Д. Вильямс", 2008.-1104 с.

2. Гантмахер Ф.Р. математический анализ, 3-е изд.-М.: Наука, 1967.

3. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. - Минск, 1963.

4. Кручкович Г.И., Мордасов Г.М., Сулейманова Х.Р. и др. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики. Учебное пособие для втузов. М., "Высшая школа", 1970 г.