Анализ влияния доходов населения на потребительские расходы

Предположим, что потребительские расходы зависят от величины дохода. Проверим это предположение с помощью корреляционно-регрессионного анализа (КРА). КРА проведем с помощью программы MS Excel.

Этапы анализа:

1. Постановка цели исследования.

Определить наличие или отсутствие зависимости между показателями дохода и потребительских расходов. Построить регрессионную модель этой зависимости, проверить её качество и использовать эту модель для анализа и прогнозирования.

2. Сбор исходной статистической информации.

Информацию для исследования находим в статистических ежегодниках. Представим данные в табличной форме (таблица 7).

Таблица 7

Исходная информация для КРА

Введем обозначения: x_i – доходы, y_i – потребительские расходы. Графически зависимость исходных данных представлена на рисунке 4.

Рисунок 4 - Зависимость потребительских расходов от доходов

3. Оценка тесноты связи между признаками.

3.1. Предположим, что изучаемые признаки связаны линейной зависимостью. Рассчитаем линейный коэффициент корреляции по формуле:

Промежуточные расчеты представлены в таблице 8.

Таблица 8

Промежуточные расчеты для определения параметров регрессии

 (20)

       (21)

      (22)

 (23)

(24)

 (25)

 (26)

 (27)

Коэффициент линейной корреляции, равный 0,997, свидетельствует о наличии очень сильной связи.

3.2. Оценка существенности коэффициента корреляции. Для этого найдем расчетное значение t-критерия Стьюдента:

 (28)

По таблице критических точек распределения Стьюдента найдем t _кр при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν = 5-k-1 = 5-1-1=3. t _кр = 3,18. Так как t _расч > t _кр (22,3> 3,18), то линейный коэффициент считается значимым, а связь между x и y – существенной.

4. Построение уравнения регрессии.

Этап построения регрессионного уравнения состоит в идентификации (оценке) его параметров, оценке их значимости и значимости уравнения в целом.

4.1. Идентификация регрессии. Построим линейную однофакторную регрессионную модель вида  Для оценки неизвестных параметров a ₀, a ₁ используется метод наименьших квадратов, заключающийся в минимизации суммы квадратов отклонений теоретических значений зависимой переменной от наблюдаемых (эмпирических).

Система нормальных уравнений для нахождения параметров a ₀, a ₁ имеет вид:

  (29)

После преобразования системы получим:

 (30)

 (31)

Решением системы являются значения параметров: а₀ = 391,08; a₁ = 0,43.

Уравнение регрессии:

                   (32)

Коэффициент детерминации:

Таким образом, судя по регрессионному коэффициенту а₁=0,43, можно утверждать, что с увеличением дохода на 1 рубль потребительские расходы  увеличивается в среднем на 0,43 рублей в месяц. Коэффициент регрессии а₀=391,08 учитывает влияние факторов, неучтенных в модели. В нашем случае влияние неучтенных факторов невелико.

Коэффициент детерминации  показывает, что 99,4% вариации признака «потребительские расходы» обусловлено вариацией признака «доход а остальные 0,6% вариации связаны с воздействием неучтенных факторов.

4.2. Проверка значимости параметров регрессии.

Для того, чтобы оценить на сколько параметры а₁, а₀ отображают исследуемый процесс и не являются ли эти значения результатом случайных величин, рассчитаем средние ошибки и t-критерии Стьюдента.

                 (33)

      (34)

По таблице критических точек распределения Стьюдента найдем t _кр при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν = 3. t _кр = 3,18. Так как t ^а0 _расч > t _кр (8,44 >3,18), то параметр а₀ считается значимым. Так как t ^а1 _расч > t _кр (22,4 > 3,18), то параметр а₁ считается значимым.

4.3. Проверка значимости уравнения регрессии в целом.

                  (35)

По таблице критических значений критерия Фишера найдем Fкр = 10,13 (при α=0,05, ν₁=k=1, ν₂=n-k-1=3). Так как F_расч > F_кр (497 > 10,13), то для уровня значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν₁=1, ν₂=7 построенное уравнение регрессии можно считать значимым.

5. Использование регрессионной модели для принятия управленческих решений (анализа, прогнозирования и т.д.).

Вычислим прогнозное значение потребительских расходов для величины дохода х_р=10000. При уровне значимости α=0,05 точечное значение прогноза

(36)

Т.е. с доверительной вероятностью p=1-α=1-0,05=0,95 можно предполагать, что прогнозное значение потребительских расходов при величине дохода, равной 10000 рублей, составит около 4691,08 рублей.

Таким образом, в результате проведения корреляционно-регрессионного анализа показано, что между величиной дохода и величиной потребительских расходов существует тесная связь. Изучаемые признаки связаны линейной корреляционной зависимостью. Найдены параметры этой зависимости. Проведена комплексная оценка значимости, как параметров регрессионного уравнения, так и регрессии в целом. Показана адекватность построенного уравнения регрессии. Следовательно, регрессионная модель зависимости величины дохода и величины потребительских расходов может быть использована для принятия управленческих решений.