Добротность резонатора

Рассмотрим для простоты плоскопараллельный резонатор. В этом случае, исходя из приведенного выше рассмотрения, каждую моду резонатора можно представить себе как суперпозицию двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Пусть I₀ - начальная интенсивность одной из этих волн. Если R₁ и R₂ - коэффициенты отражения (по мощности) 2-х зеркал, а T_i - относительные внутренние потери за проход вследствие дифракции, то интенсивность I( t₁) в момент времени t=2 L/ c, т.е. после одного полного прохода резонатора, запишется в виде

Интенсивность после m полных проходов, т. е. в момент времени t_m=2 mL/ c, равна

Если q( t) - полное число фотонов в резонаторе в момент времени t, то, разумеется, оно пропорционально интенсивности, т.е. , и поэтому , где  - число фотонов, изначально присутствующих в резонаторе. Следовательно, число фотонов в момент времени  равно . Сравнение 2-х последних выражений показывает, что , откуда находим время жизни фотона

Если теперь предположить, что последнее соотношение для  справедливо не только в момент времени , но в любой момент t>0, то можно написать . Отметим, что время жизни фотона много больше, времени прохода.

При условии, что последнее выражение справедливо, временную зависимость электрического поля в произвольной точке внутри или вне резонатора можно представить в виде

С помощью Фурье-преобразования этого выражения нетрудно показать, что спектр мощности излучения имеет лоренцеву форму линии с полушириной (полная ширина на половине максимального значения): .

Рассмотрев время жизни фотона в резонаторе, определим теперь понятие добротности резонатора и найдем связь этой величины с временем жизни фотона. Для любой резонансной системы, и в частности для резонирующей полости, добротность определяют как Q=2π∙(Запасенная энергия) /(Энергия, теряемая за один цикл колебания). Таким образом, высокая добротность резонатора означает, что резонансная система имеет малые потери. Поскольку в нашем случае запасенная энергия равна , а энергия, теряемая в течение одного цикла колебания, равна , мы имеем

.

При этом из последнего выражения для , находим  Подставив сюда , получим

Таким образом, добротность резонатора равна отношению резонансной частоты  к ширине линии резонатора . В течение одного цикла колебания оптический резонатор теряет небольшую долю энергии.

Литература

1. О. Звелто. Принципы лазеров. Москва, «Мир», 1990.

2. И. Радунская. Крушение парадоксов. «Молодая гвардия», 1971.

3. www.femto.com.ua