Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций

Теорема 5.1. Пусть a₁, ..., а_п, ... — бесконечная последовательность комплексных чисел, причем

0< |a₁| ≤ |a₁| ≤...≤|а_n|<...

И lim  = 0.

Тогда существует целая функция G(s), которая имеет своими нулями только числа а_п (если среди а_п есть равные, то нуль G(s) будет иметь соответствующую кратность).

Следствие 5.1. Пусть последовательность чисел a₁, ..., а_п, ... удовлетворяет условиям теоремы 5.1., и, кроме того, существует целое число р > 0 такое, что сходится ряд

Тогда функция G₁(s),

удовлетворяет теореме5. 1.

Теорема 5.2. Каждая целая функция G(s) может быть представлена в виде

где H(s) — целая функция, а числа 0, a₁ ,a₂, ..., а…,-— нули G(s), расположенные в порядке возрастания их модулей. Если, кроме того, последовательность а_n , п = 1,2,..., удовлетворяет условиям следствия 5.1., то

Доказательство. Нули G(s) не могут иметь предельной точки, т. е. их можно расположить в порядке возрастания модулей. По теореме 5.1. построим целую функцию G₁ (s), имеющую своими нулями нули G(s). Полагая

 при s≠a_n,

видим, что φ(s) — целая функция, нигде не равная нулю, т. е. и логарифм φ(s) — целая функция. Но тогда φ(s) = e^H(s), где H(s) — целая функция. Так же доказывается второе утверждение теоремы. Теорема доказана.

Теорема 5.3. Пусть G(s)— целая функция конечного порядка α и G(0)≠0, s_n — последовательность всех нулей G(s), причем 0 < |s₁| ≤ |s₂| ≤ ... ≤|s_n|≤ ... Тогда последовательность s_n имеет конечный показатель сходимости β≤α,

Где p≥0— наименьшее целое число, для которого

g(s)— многочлен степени g ≤α и α = max (g, β) Если, кроме того, для любого с > 0 найдется бесконечная последовательность r₁, r₂, ..., r_n, ..., r_n  +∞, такая, что

max |G(s)|> , |s| = r_n , n = 1, 2, …,

то α=β и ряд  расходится.

О бесконечности целых нетривиальных нулей L -функции Дирихле

Из следствия к теореме 4.1 видно, что функция L(s, χ), χ — примитивный характер, имеет в полуплоскости Re s < 0 лишь действительные нули; эти нули являются полюсами  или  называются тривиальными; тривиальным также называется нуль s = 0. Кроме тривиальных функция L(s, χ) имеет подобно дзета-функции бесконечно много нетривиальных нулей, лежащих в полосе (критическая полоса) 0 ≤ Re s ≤ 1.

Теорема 5.1. Пусть χ — примитивный характер. Тогда функция ξ(s, χ) является целой функцией первого порядка, имеющей бесконечно много нулей ρ_n таких, что 0≤Re ρ_n ≤ 1, ρ_n ≠0, причем ряд расходится, а ряд

сходится при любом ε > 0. Нули ξ(s, χ) являются нетривиальными нулями L(s, χ).

Доказательство. При Re ≥1/2

Последняя оценка |ξ(s, χ)| в силу функционального уравнения (9) из §4 и равенства

справедлива также при Re s<l/2; кроме того ξ(0, χ)≠ 0. Поскольку In Г(s) ~ s ln s при s -> +∞, по теореме 5.3 получаем первое утверждение теоремы. Так как L(s, χ)≠0 при Re s>l, то из

следует, что ξ(s, χ) ≠0 при Re s < 0, т. о. нули ξ(s, χ) являются нетривиальными нулями L(s, χ),лежащими в полосе 0≤Re s≤l. Теорема доказана.