Вероятностные характеристики дискретных случайных величин

Для расчёта дискретной случайной величины необходимо иметь:

1) все возможные значения, которые она может принимать,

2) вероятность появления каждого из них.

Одной из простых характеристик определяющую случайную величину является среднее значение или математическое ожидание случайной величины.

                                       .                                (1.6)

Основные свойства математического ожидания случайной величины следующие:

1. Для любых случайных величин среднее значение их суммы равно сумме средних значений этих величин:

                   ;            (1.7)

2. Среднее значение произведения случайных величин, независимых друг от друга, равно произведению средних значений этих величин:

                         .                  (1.8)

Последняя формула не распространяется на общий случай любых случайных величин. В виде обобщения среднего значения введено понятие момента порядка m случайной величины x.

                                                                             (1.9)

Момент первого порядка есть среднее значение (математическое ожидание) случайной величины. Момент второго порядка – это средний квадрат случайной величины.

                                           .                                  (1.10)

Часто используют так называемое среднеквадратичное значение случайной величины, представляющее собой корень квадратный из среднего квадрата случайной величины:

                                                   .                                          (1.11)

Иногда рассматриваются центрированное значение случайной величины

, где – среднее значение. Тогда можно ввести понятие центрального момента m-го порядка.

                                       .                             (1.12)

Из формулы следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю.

Обратимся теперь к характеристикам рассеяния дискретной случайной величины.

Если x – случайная величина, а – среднее значение этой величины, то величина  есть отклонение случайной величины от ее среднего значения. Это отклонение является случайной величиной, как и сама величина x.

Средним отклонением D называется среднее значение (математическое ожидание) абсолютной величины отклонения, т.е.

                                       .                              (1.13)

Дисперсией называется средний квадрат отклонения случайной величины от её среднего значения. Она совпадает с центральным моментом второго порядка

                                   .                          (1.14)

Дисперсия может быть только положительным числом: .

Корень квадратный из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением случайной величины:

                                                     .                                           (1.15)

Укажем простейшие свойства среднеквадратичных отклонений.

1. При сложении независимых случайных величин

                                                                                    (1.16)

дисперсии складываются:

                                         .                                (1.17)

Поэтому среднеквадратичное отклонение суммы независимых случайных величин

                        .               (1.18)

Эта формула часто применяется в вычислительной технике и автоматики для вычисления среднего квадрата ошибки.

2. Пусть имеется n случайных величин

с одинаковыми средними значениями  и с одинаковыми законами распределения. Тогда их среднеарифметическое

                                                                        (1.19)

тоже будет случайной величиной с тем же самым средним значением , но среднеквадратичное отклонение его будет в  раз меньше, чем для каждой из составляющих (в случае независимых случайных величин):

                                                                                               (1.20)

Например, если производится n измерений одной и той же физической величины, то их среднее арифметическое, хотя является случайной величиной, но всегда надежнее (имеет меньшее среднеквадратичное отклонение), чем каждое измерение в отдельности. Здесь случайные ошибки измерения в известной мере компенсируются. Но надо помнить, что систематические ошибки приборов при этом остаются в полной мере в составе среднего арифметического и никакой массовостью измерений скомпенсированы быть не могут.

3. Для n случайных величин, независимых, имеющих одно и то же среднеквадратичное значения , среднее арифметическое будет при достаточно большом  как угодно мало отличатся от среднего значения  (с вероятностью, как угодно близкой к единице). Замечание в скобках означает, что это практически достоверно, но не абсолютно, потому что среднее арифметическое есть все же случайная величина. Таким образом, при большом n и указанных условиях

                               при .                     (1.21)