Краткий обзор методов решения задачи векторной оптимизации

 

Решение задачи векторной оптимизации представляет собой сложный процесс, в ходе которого могут применяться различные расчетные схемы и алгоритмы. Перечислим некоторые из наиболее употребительных:

Методы, основанные на свертывании системы показателей эффективности;

Методы, использующие ограничения на критерии;

Методы целевого программирования;

Методы, основанные на отыскании компромиссного решения;

Методы, в основе которых лежат человеко-машинные процедуры принятия решений (интерактивное программирование).

Для ряда из вышеперечисленных методов вводится понятие функции предпочтения (полезности). С помощью функции предпочтения проблема сравнения совокупности чисел-значений, принимаемых показателями эффективности, сводится к сравнению чисел-значений, принимаемых функцией предпочтения. При этом ЛПР считает, что один набор значений локальных критериев предпочтительнее другого, если ему соответствует большее значение функции предпочтения. Кратко охарактеризуем упомянутые методы векторной оптимизации.

А. В методах, основанных на свертывании системы показателей эффективности, из локальных критериев формируется один. Наиболее распространенным является метод линейной комбинации локальных (частных) критериев.

Пусть рассматриваемая экономическая система характеризуется набором локальных критериев (целевых функций)  и известен вектор весовых коэффициентов (вектор приоритетов) критериев , характеризующий важности соответствующих критериев, причем:

 

.

 

В этом случае функция предпочтения  выбирается в виде:

 

(5.1)

 

и задача векторной оптимизации сводится к задаче скалярной оптимизации, рассмотренной ранее. При решении данной задачи учитывается система функций-ограничений для каждой из целевых функций . К недостаткам данного метода можно отнести то, что решение, оптимизирующее функцию предпочтения, может оказаться неудовлетворительным по одному или сразу нескольким частным показателям. Это объясняется тем, что при достижении максимума функции предпочтения недопустимо малые значения некоторых показателей компенсируются большими значениями остальных.

К этой же группе методов относятся методы, в которых используется среднестепенная функция предпочтения вида:

 

,

 

где параметр .

оптимальность парето векторный многокритериальный

Б. Методы, использующие ограничения на критерии, включают два подхода: метод ведущего критерия и метод последовательных уступок.

В методе ведущего критерия все целевые функции, кроме одной, переводятся в разряд ограничений. Пусть - вектор, компоненты которого представляют собой нижние границы соответствующих критериев. Тогда задача записывается в виде:

 

 

где - исходная система функций-ограничений. Метод ведущего критерия применяется в таких задачах, как минимизация полных затрат при условии выполнения плана по производству различных видов продукции, максимизация выпуска комплектных наборов при ограничении на потребляемые ресурсы и ряда других.

Алгоритм метода последовательных уступок состоит в следующем:

Критерии нумеруются в порядке убывания важности;

Определяется оптимальное значение наиболее важного критерия . Лицом, принимающим решение, устанавливается величина уступки по этому критерию;

Решается задача по критерию  с дополнительным ограничением ;

Пункты 2 и 3 повторяются последовательно для критериев .

В. При решении задач методами целевого программирования предполагается приближение значения каждого критерия к определенной величине , т.е. достижение определенной цели. В самом общем виде задача целевого программирования может быть сформулирована как минимизация сумм отклонений целевых функций (критериев) от целевых значений с нормированными весами :

 

, (5.2)

 

где  - вектор целевых значений, - расстояние (мера отклонения) между  и , . Часто (например, в случае линейного целевого программирования) полагают . Следует отметить, что точка , как правило, не принадлежит области допустимых значений, в связи с чем, ее иногда называют идеальной или утопической точкой.

Г. В методах, основанных на отыскании компромиссного решения, используется принцип гарантированного результата. Задача может быть сформулирована следующим образом:

 

.(5.3)

 

Данным методом могут решаться задачи с заданными приоритетами критериев и многовекторные задачи.

Д. В методах основанных на человеко-машинных процедурах (методы интерактивного программирования) решение задачи происходит в интерактивном режиме. ЛПР оценивает полученное решение и вносит или изменяет заранее заданные коэффициенты или уступки по критериям, а также определяет направление оптимизации. Эта информация служит для постановки новой задачи оптимизации и получения промежуточного решения. Диалог продолжается до тех пор, пока решение не будет удовлетворять требованиям ЛПР. Основным достоинством данного метода является использование знаний и интуиции ЛПР, глубоко понимающего смысл задачи и способного правильно корректировать промежуточные результаты в нужном направлении.

Отметим еще один важный метод агрегирования целевой функции. В некоторых случаях, когда одни частные критерии желательно увеличивать, а другие – уменьшать, может быть использована функция агрегирования в виде отношения одних критериев к другим. При этом первая группа критериев отождествляется с целевым эффектом, а другая – с затратами на его достижение. Результатом агрегирования в этом случае выступает удельная эффективность:

 

,

 

где  - прибыль (полезный эффект),  - затраты. Этот метод часто называют методом “затраты – эффект”.

Перейдем к рассмотрению информационных технологий решения ряда задач векторной оптимизации. В процессе рассмотрения мы ограничимся наиболее широко используемыми методами. Для решения задач будем использовать процессор электронных таблиц Excel, способный достаточно просто и эффективно решать задачи подобного рода.

Пример 1. Свертывание системы показателей эффективности.

Рассмотрим следующую задачу векторной оптимизации:

 

,

 

где целевые функции и соответствующие им ограничения имеют вид:

 

 

Решим задачу в Excel и проанализируем зависимость получаемого решения от значения коэффициентов .

Внесем данные на рабочий лист в соответствии с Рис. 5.1. Под значения переменных отведем ячейки A16:C16. В ячейки A6:A8 и A10:A12 введем формулы, определяющие ограничения на значения переменных, в ячейки E16 и G16 – формулы для расчета соответствующих целевых функций, в ячейку F20 – формулу для расчета функции .

Чрезвычайно важным является использование в данном методе общей для всех функций системы ограничений.

 

Рис. 1. Данные для решения примера 1

Вызовем Поиск решения и зададим область изменения переменных, целевую ячейку и систему ограничений стандартным образом. В результате получим ответ: (для данных значений параметров  (см. Рис. 1))  Полагая значения параметров равными, например,  получим другое оптимальное значение исследуемой функции  Таким образом, можно сделать вывод о весьма существенной чувствительности значений данной оптимизируемой функции к вариациям весовых коэффициентов.

Пример 2. Ограничения на критерии. Метод последовательных уступок.

Ограничимся для простоты задачей линейной оптимизации (линейного программирования).

Пусть необходимо решить задачу векторной оптимизации следующего вида:

 

 

при ограничениях:

методом последовательных уступок, если уступка по первому критерию составляет 10% от его оптимального значения.

Решение. Решим задачу по критерию , в результате чего получим . В соответствии с условием задачи величина уступки . Дополнительное ограничение будет иметь вид: , т.е. . Решая задачу

 

 

получим

 

.

 

Проведем решение задачи с помощью Excel. Введем данные на рабочий лист в соответствии с Рис.2.

Отведем под значения переменных ячейки A19 и B19, введем формулы, определяющие ограничения исходной задачи, в ячейки A13:A15; формулу для целевой функции в ячейку E19, а формулу для расчета  в ячейку H19. Поиск решения дает значение . Далее, копируем значение из ячейки E19 в ячейку С26 (используется специальная вставка – только значение). Затем отводим под целевую ячейку E26, вводим в нее формулу для расчета , а в ячейку A26 вводим формулу =A19+3*B19, представляющую собой дополнительное ограничение задачи.

При вторичном запуске Поиска решения наряду с уже введенными на первом этапе ограничениями вводим еще одно дополнительное ограничение A26>=144.

В результате расчета получим ответ:

.

 

Рис. 2. Данные для решения задачи оптимизации по методу последовательных уступок

 

Пример 3. Целевое программирование.

Провести оптимизацию вектор – функции

 

 

при ограничениях:

Рис. 3. Данные для решения примера 3

 

Решение. Введем данные на рабочий лист в соответствии с Рис.3.

Отведем под значения переменных ячейки A20 и B20; введем формулы, определяющие ограничения задачи, в ячейки A16:A17; формулы для расчета функций  в ячейки E20, G20 и I20, а формулу для расчета  - в ячейку C28. Поскольку наши функции нелинейны, в окне диалога Параметры поиска решения необходимо снять флажок (указатель) линейная модель.

Далее последовательно проводим поиск оптимальных (максимальных) значений функций  (целевыми ячейками выбираем E20, G20 и I20); после нахождения оптимальных значений каждой из функций ее максимальное значение заносим (используя специальную вставку) в ячейки E24, G24 и I24 соответственно. Таким образом, в ячейках окажутся значения: 1.0748 (E24), 0.7357 (G24), 2 (I24).

После этого переходим к заключительному этапу. Оптимизируем (минимизируем) значение целевой функции  (целевая ячейка С28). Поиск решения дает для оптимального значения целевой функции значение 0,32534. При этом в ячейках E20, G20 и I20 окажутся значения функций , соответствующие значениям , при которых отклонение  от  будет минимальным.

Таким образом, при данных значениях весовых коэффициентов мы получаем следующие оптимальные (с точки зрения достижения оптимального значения “совокупной” функции ) значения компонент вектор функции:

 

1,0748	0,7815	0,7358	0,3609	2	1,6784

 

Из вышеприведенной таблицы видно, что в результате оптимизации  значения всех трех функций-составляющих уменьшились. Естественно, при использовании других весовых коэффициентов мы получили бы другие значения  (но при любых значениях весовых коэффициентов тенденция уменьшения всех компонент вектор-функции сохраняется).

Следует отметить, что задача целевого программирования может формулироваться несколько иным образом. ЛПР может просто указать, исходя из своих соображений, желательные с его точки зрения, значения , или диапазоны, в которых эти значения должны быть локализованы. При этой постановке задача решается практически аналогично, с тем отличием, что поиск оптимальных значений компонент (первая часть решения) не проводится, а их значения (или диапазоны изменения) вводятся в качестве ограничений дополнительно к исходным ограничениям задачи.