Методика изучения логарифмической функции, ее свойств и их приложения. Производная показательной и логарифмической функции

 

Методика изучения логарифмической функции

Изучение логарифмической функции начинается с выделения определения: функцию, заданную формулой  называют логарифмической функцией с основанием . Основные свойства выводится из свойств показательной функции:

 

1. ,

 

т.к. при решении уравнения

 

,

 

т.е. любое положительное число  имеет логарифм по основанию .

 

2. ,

 

т.к. по определению логарифма любого действительного числа  справедливо равенство:

 

,

 

т.е. функции вида  принимает значение  в точке .

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a>1) или убывает (при 0<a<1).

Покажем, что  при a>1 возрастает. Пусть  и , надо доказать, что: . Допустим противное, т.е. что . Т.к. показательная функция  при a>1 возрастает, то из неравенства  следует: , что противоречит выбору . Следовательно:  и функция  при a>1 – возрастает.

Т.к. при a>1 функция возрастает, то логарифмическая функция положительна при x>1 и отрицательна для 0<x<1 (для основания 0<a<1 – наоборот). На основании рассмотренных свойств строится график этой функции.

Производная показательной и логарифмической функции

Приступая к изучению производной показательной и логарифмической функций, учащиеся знакомятся с новым для них числом e. Необходимость появления этого числа связывается с решением задачи о касательной к графику показательной функции, с угловым коэффициентом, равным 1, т.е. без доказательства принимается следующее утверждение:

существует такое число, больше 2 и меньшее 3 (это число обозначают буквой е), что показательная функция y=e^x в точке 0 имеет производную, равную 1, т.е. (e^Δx-1)/ Δx à при Δxà0.

Теорема: функция e^ж дифференцируема в каждой точке области определения и (e^x)'= e^x. Опр.: Натуральным логарифмом называется логарифмом по основанию е:

 

ln x = log_ex

 

Верно соотношение:

 

e^{ln a}=a => a^x=(e^{ln a})^x=e^{x ln a}.

 

Теорема: показательная функция а^x дифференцируема в каждой точке области определения, и:

(a^x)'=a^xln a

 

Дифференцируемость логарифмической функции следует из того, что: графики у=а^х и у=log _ax симметричны относительно у=х. Показательная функция дифференцируема в любой точке, а ее производная не обращается в нуль, график показательной функции имеет негоризонтальную касательную в каждой точке. Поэтому и график логарифмической функции имеет невертикальную касательную в любой точке, а это равносильно дифференцируемости логарифмической функции на ее области определения.

Производная логарифмической функции для любого х из области определения находится по формуле: ln'x=1/x.

 

x=e^{ln x} => x'=(e^{ln x})', n/r/ x'=1 => (e^{ln x})'=1 => e^{ln x}(ln x)'=1 => ln'x=1/e^{ln x}=1/x.

 

Заключение

 

Изучение темы "Показательная, логарифмическая и степенная функции" в курсе алгебры и начала анализа предусматривает знакомство учащихся с вопросами:

Обобщение понятия о степени; понятие о степени с иррациональным показателем; решение иррациональных уравнений и их систем; показательная функция, ее свойства и график; основные показательные тождества:

 

; ;

 

тождественные преобразования показательных выражений; решение показательных уравнений, неравенств и систем; понятие об обратной функции; логарифмическая функция, ее свойства и график; основные логарифмические тождества:

 

; ;

 

тождественные преобразования логарифмических выражений; решение логарифмических уравнений, неравенств и систем; производная показательной функции; число е и натуральный логарифм; производная степенной функции; дифференциальное уравнение радиоактивного распада.

 

Литература

 

1. К.О. Ананченко "Общая методика преподавания математики в школе", Мн., "Унiверсiтэцкае",1997г.

2.Н.М.Рогановский "Методика преподавания в средней школе", Мн., "Высшая школа", 1990г.

3.Г.Фройденталь "Математика как педагогическая задача",М., "Просвещение", 1998г.

4.Н.Н. "Математическая лаборатория", М., "Просвещение", 1997г.

5.Ю.М.Колягин "Методика преподавания математики в средней школе", М., "Просвещение", 1999г.

6.А.А.Столяр "Логические проблемы преподавания математики", Мн., "Высшая школа", 2000г.