Классификация сил, приложенных к частицам жидкости. Напряжения. Тензор напряжений.

    Все силы, приложенные к данной частице жидкости, можно разбить на два класса: 1) силы объёмные, то есть такие, которые действуют не только на поверхности жидкости, но и на внутренние части жидкости, заключенные в данном объёме, как например, силы веса, в известном условном смысле фиктивные силы инерции и другие (иногда ещё объёмные силы называют массовыми силами) и 2) силы поверхностные - давление, касательные силы трения между частицами и другие.

    В дальнейшем будем относить массовые силы к единице массы, так что сила будет иметь вид:

где r плотность жидкости, dt - элемент объёма и F - сила, отнесённая к единице массы.

    Поверхностные силы условимся относить к единице поверхности, так что общий вид силы будет:

где  - сила, отнесённая к единице поверхности,  - элемент поверхности.

    Основное отличие объёмных сил от поверхностных заключается в том, что при действии на бесконечно малый объём поверхностные силы будут величинами 2-го порядка, а объёмные силы - 3го порядка. Так что при рассмотрении движения бесконечно малого объёма можно пренебрегать всеми объёмными силами, включая и силы инерции, то есть рассматривать равновесие бесконечно малого объёма под влиянием только поверхностных сил.

    Пользуясь произвольностью в выборе формы бесконечно малого объёма, представим себе его в виде тетраэдра, образованного координатными плоскостями и наклонной плоскостью с внешней нормалью . Здесь оси координат взяты совершенно произвольно в пространстве, а направления боковых граней тетраэдера можно определить ортами осей с обратными знаками, как показано на рисунке.

Если обозначим через  среднее значение поверхностной силы, распределённой по наклонной площадке , а через , ,  - то же для площадок с ортами: , ,  , то по условию равновесия тетраэдера будем иметь:

                                                                                                                 (1)

Если обозначить через , ,  проекции орта  на оси координат, то есть косинусы углов между  и направлениями осей, то будем иметь:

                                                                                                                                                                   (2)

Подставляя в (1) найдём:

    Это уравновешивающая поверхностная сила, приложенная к наклонной грани. Она уравновешивает силы, приложенные к боковым граням. Оставляя то же обозначение  для равнодействующей, получим разложение поверхностной силы, приложенной к наклонной грани на поверхностные силы, приложенные к координатным граням

                                                                                                                                               (3)

    Эта формула имеет очень большое значение для дальнейшего: она показывает, что всякую поверхностную силу приложенную к площадке, направление которой задано ортом , можно разложить на три поверхностных силы, приложенных к трём произвольно выбранным, но взаимно-перпендикулярным площадкам в данном месте жидкости. Здесь - настоящий физический вектор, что касается векторов , , , то они не физические и зависят то выбора осей , , .

    Не следует думать, что вектора , ,  и  направлены перпендикулярно к площадкам, к которым они приложены. Это будет только в частном случае идеальной жидкости; вообще говоря, они будут как-то наклонены к этим площадкам. Чтобы определить их направление, воэьмём проекции на произвольную систему координат . Тогда будем иметь величины:

    Первый индекс обозначает номер площадки, к которой приложена сила, то есть номер оси, к которой площадка перпендикулярна, второй индекс - номер оси, на которую проекция берётся; так, например,  - есть третья проекция силы приложенной ко второй площадке (перпендикулярной второй оси). Проектируя уравнений (3) на оси координат, получим:

                                                                                                                                       (4)

    Эта группа формул показывает, что проекции поверхностной силы, приложенной к любой наклонной площадке, могут быть выражены через девять величин . Это свойство напряжений напоминает аналогичное свойство перемещений частиц и других величин, которые являются тензорными величинами.

    Легко показать, что совокупность величин  образует тензор. Действительно, уравнения (4) можно рассматривать как линейное преобразование вектора  в физический вектор ; коэффициенты преобразования  образуют при этом физический тензор. Этот тензор  называется тензором напряжений. Можно написать в принятом ранее смысле:

                                                                                                                                                                             (5)

    Доказанная тензорность напряжений позволит нам в дальнейшем сделать ряд необходимых выводов. Далее также будет доказана симметричность тензора напряжений.