Комплексный метод Бокса

Этот метод представляет модификацию симплексного метода и предназначен для решения задачи нелинейного программирования с ограничениями-неравенствами. Для минимизации функции n переменных f(x) в n-мерном пространстве строят многогранники, содержащие q п+1 вершин. Эти многогранники называют комплексами, что и определило наименование метода.

Введем следующие обозначения:

х[j, k] (х₁[j, k], …, х_i[j, k], …, х_n[j, k])^T,

где j 1, ..., q; k 0, 1, 2, ... - j-я вершина комплекса на k-м этапе поиска;

х[h, k] - вершина, в которой значение целевой функции максимально, т. е. f(x[h, k]) max{f(x[l, k]), ..., f(x[q, k])}; x[h, k]- центр тяжести всех вершин, за исключением х[h, k] . Координаты центра тяжести вычисляются по формуле

, i l, ..., n.

Алгоритм комплексного поиска состоит в следующем. В качестве первой вершины начального комплекса выбирается некоторая допустимая точка х[1, 0]. Координаты остальных q-1 вершин комплекса определяются соотношением

х_j[j, 0] а_i + r_i(b_i - a_i), i 1, ..., п; j 2, ..., q.

Здесь а_i, b_i - соответственно нижнее и верхнее ограничения на переменную х_i', r_i - псевдослучайные числа, равномерно распределенные на интервале [0, 1]. Полученные таким образом точки удовлетворяют ограничениям а х b , однако ограничения h_j(x) 0 могут быть нарушены. В этом случае недопустимая точка заменяется новой, лежащей в середине отрезка, соединяющего недопустимую точку с центром тяжести выбранных допустимых вершин. Данная операция повторяется до тех пор, пока не будут выполнены все ограничения задачи. Далее, как и в методе деформируемого многогранника, на каждой итерации заменяется вершина х[h, k], в которой значение целевой функции имеет наибольшую величину. Для этого х[h, k] отражается относительно центра тяжести х[l, k] остальных вершин комплекса. Точка х[р, k], заменяющая вершину х[h, k], определяется по формуле

x[p, k] (a+1)х[l, k] + ax[h, k],

где а 0 - некоторая константа, называемая коэффициентом отражения. Наиболее удовлетворительные результаты дает значение а 1,3. При этом новые вершины комплекса отыскиваются за небольшое количество шагов, а значения целевой функции уменьшаются достаточно быстро.

Если f(x[р, k]) f(x[h, k]), то новая вершина оказывается худшей вершиной комплекса, В этом случае коэффициент а уменьшается в два раза. Если в результате отражения нарушается какое-либо из ограничений, то соответствующая переменная просто возвращается внутрь нарушенного ограничения. Если при отражении нарушаются ограничения h_j(x) 0. то коэффициент а каждый раз уменьшается вдвое до тех пор, пока точка х[р, k] не станет допустимой. Вычисления заканчиваются, если значения целевой функции мало меняются в течение пяти последовательных итераций: |f(х[l, k+1]) – f(х [l, k])| e, k 1, ..., 5, где e - заданная константа. В этом случае центр тяжести комплекса считают решением задачи нелинейного программирования.

Достоинствами комплексного метода Бокса являются его простота, удобство для программирования, надежность в работе. Метод на каждом шаге использует информацию только о значениях целевой функции и функций ограничений задачи. Все это обусловливает успешное применение его для решения различных задач нелинейного программирования. [8]

Цели и задачи

Целью настоящего курсового проекта является разработка гибкого программного комплекса, который на базе математической модели процесса одношнековой экструзии и модуля оптимизации позволяет определить оптимальные значения частоты вращения шнека и температуры корпуса, обеспечивающие заданную производительность, минимальное энергопотребление при условии обеспечения требуемого качества экструдата.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

1. исследовать процесс одношнековой экструзии плоских пленок;

2. разработать функциональную структуру программного комплекса;

3. реализовать математическую модель для исследования процесса одношнековой экструзии;

4. построить алгоритм расчета критериальных показателей процесса экструзии;

5. построить трехмерные графики зависимостей энергопотребления экструдера, производительности экструдера и индекса термической деструкции экструдированной трубы от температуры корпуса экструдера и частоты вращения шнека, подключить блок оптимизации;

6. разработать пользовательский интерфейс;

7. провести тестирование программного комплекса.

Технологическая часть