Разбиваем стержень на характерные участки

Задача

Условия задачи:

Ступенчатый стержень (рис.1.1) работает в условиях центрального растяжения – сжатия.

1. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений

2. Проверить выполнение условий прочности

3. Определить в какую сторону и насколько переместится свободных конец стержня?

Дано: ; ; ; ; [σ] = 220 МПа; модуль упругости материала  МПа.

Рис.1.1

Алгоритм решения задачи

Определяем реакции опор

Для определения реакций опор необходимо составить уравнения равновесия стержня с учетом реактивных сил и моментов. В общем плоском случае в жесткой заделке могут возникать две силы реакции  и реактивный момент  в связанной с заделкой системе координат   (рис.1.2). Так как все внешние силы Р направлены вдоль продольной оси стержня, то очевидно, что = = 0. Тогда неизвестную реакцию  определим так:

.

Рис.1.2

Данную запись нужно понимать следующим образом: сумма проекций всех сил на ось  для статического равновесия стержня должна быть равна нулю. Из уравнения равновесия вычисляем неизвестную реактивную силу . Силы, направленные вдоль оси , подставляются в уравнение равновесия со знаком «+», а противоположно направленные – со знаком «-».

Внимание! В данной задаче выполнение п.1 алгоритма (определение реакции опор) необязательно. Удобнее исходную систему координат  связать со свободным концом (правым по рис.1.1) и строить эпюру продольных сил справа – налево. Тогда при правильном построении эпюры значение реактивной силы в заделке вычисляется автоматически.

Изображаем расчетную схему стержня

Под расчетной схемой стержня будем понимать исходную схему, у которой отброшены опоры и их действие заменено соответственными силами реакции. Расчетная схема стержня для задачи 1.1 приведена на рис.1.3.

Рис.1.3

Разбиваем стержень на характерные участки

Границами характерных участков при построении эпюр продольных сил являются сечения, в которых приложены внешние силы (включая силы реакции опор) и (или) изменяется геометрия (площадь поперечного сечения). В пределах характерного участка продольная сила описывается одним уравнением. Важно отметить, что изменение геометрии сечений стержня на вид эпюры продольных сил не влияет. Однако уже на этом этапе решения задачи рекомендуется выделять характерные участки с измененной геометрией, так как в дальнейшем при построении эпюр нормальных напряжений их необходимо будет учитывать.

В данной задаче свяжем систему координат  с левым по рис.1.4 концом стержня. Выделим три характерных участка с координатами: первый - , второй -  и третий - .

4. Строим эпюру продольных сил N

На 1-ом характерном участке ( ) уравнение равновесия отсеченной части (рис.1.4) имеет вид:  (сила, направление действия которой совпадает с направлением оси Oz , в уравнение равновесия подставляется со знаком «+»), а значит . Знак «-» в полученном значении продольной силы на первом характерном участке указывает на то, что сила  направлена не от сечения (как показано на рис.1.4), а в противоположную сторону – к сечению. Значит, сила сжимающая и на эпюре продольных сил ее нужно отложить вниз от базовой линии ( ).

Рис.1.4

На 2-ом характерном участке ( ) уравнение равновесия отсеченной части имеет вид: , а значит . Исходное направление силы (рис.1.4) выбрано верно (знак «+»). Она будет направлена от сечения, т.е. является положительной (растягивающей). С учетом полученного значения строим эпюру продольных сил на втором участке.

 На 3-ем характерном участке ( ) уравнение равновесия отсеченной части имеет тот же вид, что и на втором: , а значит . Видно, что изменение геометрии стержня (площади поперечного сечения) не оказывает влияния на эпюру продольных сил. С учетом полученного значения строим эпюру продольных сил на третьем участке.