Метод замены переменной

Теорема 1. Пусть монотонная, непрерывно дифференцируемая функция, тогда

                                     (1)

При этом, если  то  где — функция, обратная .

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Алгоритм замены переменной:

1) Связать старую переменную интегрирования  с новой переменной  с помощью замены .

2) Найти связь между дифференциалами .

3) Перейти под знаком интеграла к новой переменной.

4) Проинтегрировать и в полученной первообразной вернуться к старой переменной, подставив

Пример 2. Проинтегрировать подходящей заменой переменной.

Решение:

Определенный интеграл, его вычисление и свойства

Определенный интегралот функции , непрерывной на отрезке , вычисляется по формуле:

(5)

где — первообразная для функции , т. е.

Формула (5) называется формулой Ньютона — Лейбница.

Свойства определенного интеграла :

 

6) Если  для всех , то

7) Если  для всех , то

При вычислении определенного интеграла для нахождения первообразной используют те же методы, что и для нахождения неопределенного интеграла, т. е. замену переменной, интегрирование по частям и т. д. Однако есть ряд особенностей. При замене переменной по формуле (1) необходимо в соответствии с заменой менять пределы интегрирования:

    (6)

где  — обратная к  функция.

       Пример 4. Вычислить определенный интеграл

Решение.

 

Практическая № 3

«Определение максимума мощности в цепи постоянного тока с применением производной»

Примеры решения задач

Задача1. Электронагревательный прибор потребляет мощность от источника тока, ЭДС которого равна 3В, а внутреннее сопротивление равно 2Ом. Какое сопротивление должен иметь прибор, чтобы в нем выделялась максимальная мощность?

Мощность, потребляемая электронагревательным прибором, сопротивление которого равно R, находится по формуле . Обозначим сопротивление прибора R = х. С учетом данных задачи составим функцию . Область определения этой функции промежуток (0; + ). Исследуем полученную функцию на экстремум.

 

Критические точки найдутся из уравнения .

х₁ = – 2 точка не входит в область определения функции.
х₂ = 2
Найдем знак производной на каждом промежутке

(0; 2) > 0
(2; + ) < 0

Так как при переходе через точку х = 2 производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум. Значит, мощность, потребляемая прибором, будет наибольшей, если сопротивление его равно 2 Ом.

Задача 2

Источник тока с электродвижущей силой Е=220 В и внутренним сопротивлением r = 50

Ом подключен к прибору с сопротивлением R. Чему должно быть равно сопротивление

R потребителя, чтобы потребляемая им мощность была наибольшей?

 

Позакону Ома сила тока в цепи есть

выделяемая в потребителе мощность P=I²R, то есть

 

Исследуем функцию P® на наибольшее с помощью производной:

P’® = 0 : r – R = 0, R = r = 50; При R = 50 функция P® принимает наибольшее

значение. Следовательно, потребляемая мощность будет наибольшей при

сопротивлении R =50 Ом.

Ответ: 50 Ом

Задача 3.

Сила тока  в цепи определяется по закону Ома , где ЭДС источника, сопротивление внешнего участка цепи, а сопротивление внутреннего участка цепи. При каком  мощность, на внешнем участке цепи, является наибольшей?

Решение. Мощность электрического тока выражается формулой.

.

Эту функцию и надо исследовать на экстремум (в данном выражении переменная,  и постоянные). Найдем производную:

Далее, имеем (критические точки):

Если , то , то есть функция  возрастает при . Если , то , то есть функция  убывает при .

 

Следовательно, при  достигается наибольшее значение функции , то есть достигается наибольшая мощность .