С2.1.Основы метода трансформации ( Voltage - Doping Transformation - VDT )

Методические указания

К проведению практических занятий по дисциплине

«Физика наноразмерных полупроводниковых структур»

Семинар 2

С2. Метод трансформации и модель MASTAR

План семинара

С2.1.Основы метода трансформации ( Voltage - Doping Transformation - VDT )

С2.2. Короткоканальный эффект ( SCE )

С2.3. Индуцированное стоком понижение барьера ( DIBL )

С2.4. Влияние глубины перехода

С2.5. Влияние ККЭ на подпороговый размах

С2.6. Правила «хорошего проектирования»

С2.7. Модель MASTAR

Литература

Задание на СРС

С2.1.Основы метода трансформации ( Voltage - Doping Transformation - VDT )

       Существует три главных короткоканальных эффекта (ККЭ). Первый эффект связан с уменьшением величины порогового напряжения с уменьшением длины канала при малом напряжении на стоке (roll-off). Обозначим его как (SCE). Второй короткоканальный эффект связан с уменьшением высоты потенциального барьера между стоком и истоком при увеличении напряжения на стоке (DIBL). Третий эффект связан с увеличением подпорогового размаха (S) при уменьшении длины канала. Все эффекты связаны с нарушением приближения плавного канала и появлением двумерной картины электрического поля.

       Метод трансформации (VDT) [1]позволяет любые 2D электростатические проблемы свести к 1D проблемам.

       На рис.С2.1 в криволинейной ортогональной системе координат х, y представлено распределение линий электрического поля (координата y) и линий потенциала (координата х) в МДП транзисторе, находящемся вподпороговой области. Координата y измеряет расстояние вдоль данной линии поля  и координата х измеряет расстояние вдоль данной линии потенциала , которая перпендикулярна линиям поля и начинается на поверхности.

a b

Рис.С2.1 (a) Распределение потенциала вдоль у-линий в криволинейной системе координат; (b) картина линий поля у и перпендикулярных к ним линий эквипотенциалей х. Затемненная полоска – в окрестности виртуального катода – локальный минимум потенциала вдоль линий у.

 

Мы назовем осью х особую линию , которая соответствует минимуму распределения потенциала (виртуальный катод) в направлении y. Можно показать [1], что вблизи оси х (заштрихованная область на рис.С2.1) лапласиан[1] в координатах ху принимает форму, обычную для декартовых координат ХУ, так что уравнение Пуассона можно записать в традиционном виде

                                                  .                                     

В общем случае  есть функция х и у, но на оси х (у = 0, то есть у фиксировано) – функция только х. Давайте предположим, что эта функция известна и равна . Тогда

                                                                (С2.1)

где                                                .                                           

Последнее выражение – сущность метода VDT, который, как мы покажем, позволяет свести 2D уравнение Пуассона вдоль оси х к 1D в форме (С2.1). Физически (С2.1) означает, что влияние продольных линий поля исток-сток на высоту потенциального барьера может быть эквивалентно заменено на уменьшенную концентрацию примеси . Заметим, что отрицательное значение  показывает, что все ионы примеси связаны полем стока, что просто означает, что МОПТ находится в состоянии прокола.

       Любые 2D распределения потенциала в области, содержащей заряд с плотностью N_B , эквивалентны 1 D распределению потенциала в этой области, содержащей заряд с плотностью . Как мы покажем далее, это простое наблюдение может иметь большое практическое значение при условии, что мы способны рассчитать . Чтобы показать это, давайте рассмотрим МОПТ-структуру, показанную на рис.С2.1. Применительно к этой структуре метод VDT гарантирует, что потенциал вдоль данной вертикальной оси может быть рассчитан из 1D уравнения Пуассона, если заменить реальную концентрацию легирующей примеси N_B модифицированной (трансформированной) концентрацией . Так как 1D решение для потенциала в МОПТ-структуре хорошо известно, достаточно формально заменить N_B  на  в хорошо известных выражениях. Это означает, что результаты из всех моделей (например, модели порогового напряжения), выводимые из 1 D уравнения Пуассона для длинноканального транзистора, могут быть распространены на короткоканальные транзисторы простой и формальной заменой реальной концентрации на трансформированную. Так как пороговое напряжение (и многие другие важные величины) короткоканального транзистора зависит от потенциала на так называемом виртуальном катоде (минимум потенциала, соответствующий максимуму высоты потенциального барьера между истоком и стоком в подпороговой области), необходимо определить трансформированную концентрацию вдоль вертикальной оси, проходящей через виртуальный катод, как показано на рис.С2.1. Все другие области транзисторной структуры здесь неважны, и, следовательно, метод VDT не стремится найти потенциал где-нибудь еще, кроме как вдоль виртуального катода.

       В короткоканальном транзисторе геометрия распределения потенциала не декартова (прямоугольная), но, как показано в [1] лапласиан, соответствующий криволинейной системе координат на рис.С2.1, сводится к декартову лапласиану, когда рассматривается сокращенная область определения решения очень близко к окрестности виртуального катода (затемненная область на рис. С2.1).

       Давайте предположим параболическое распределение потенциала  в латеральном направлении (ось y), и определим параметры a , b , c из следующих граничных условий:

где m – расстояние от истока до виртуального катода (ось х)[2], измеренное вдоль данной линии , соответственно L – длина линий поля,  − контактная разность потенциалов перехода исток (сток)-подложка,  и  − напряжения исток-подложка и сток-исток. Заметим, что вследствие криволинейной геометрии задачи величина L не есть длина канала транзистора, а длина данной линии поля между истоком и стоком. В дальнейшем мы получим соотношение между L и длиной канала транзистора.

Используя граничные условия, после некоторых преобразований это дает [предупреждение: так как  становится новым решением (в сокращенной области), заменяя , мы используем для простоты то же самое обозначение ]:

  (С2.2)

и, следовательно,

                                          ,                          (С2.3)

где .

       Все длинноканальные модели транзистора (1D), которые зависят от высоты потенциального барьера, остаются справедливыми также и для случая короткого канала (2D), если заменить в этих выражениях реальную концентрацию N_B на трансформированную .

       Поэтому, давайте подставим трансформированную концентрацию в классическое  уравнение для порогового напряжения:

                                                                    (С2.4)

Полагая, что в (С2.3) поправочный член , раскладываем выражение (С2.4) в ряд Тейлора и, ограничиваясь членами первого порядка, получаем:

       , (С2.5)

где

                                                       −                                  (С2.6)

толщина обедненной области с учетом смещения подложки.

Полное выражение для  слишком сложное:

                               (С2.7)

мы упростим его.