Частные случаи приведения пространственной системы сил

Системы сил

Изменение главного момента при перемене центра приведения

Согласно теореме Пуансо, произвольная система сил приводится к главному вектору  и главному моменту  ( ) относительно произвольного центра приведения  (рис. 9.1):

                                                            (9.1)    

	Здесь  - радиус - вектор точки приложения силы , проведенный из центра О. При перемене центра приведения векторные моменты сил изменяются, так как изменяются радиус-векторы точек приложения (рис. 9.2).
Рис. 9.1
	Вследствие этого изменяется главный момент. Оценим изменение главного момента заданной системы сил. Из рис. 9.2 видно, что                           , где - радиус - вектор точки приложения силы , проведенный из центра .
Рис. 9.2

Тогда главный момент системы  относительно нового центра приведения запишется                                          

Здесь

Получили, что главный момент относительно нового центра приведения (точка О1) (рис. 9.3) является векторной суммой моментов  и , т.е.               (9.2)
	Рис.9.3

Итак, главный момент системы сил при перемене центра приведения изменяется на векторный момент главного вектора , приложенного в старом центре приведения относительно нового центра приведения О₁.

9.2. Инварианты системы сил

Физические величины инвариантны относительно данного преобразования координат, если значения этих величин не меняются при переходе к другой системе координат.

Главный вектор для любого центра приведения выражается векторной суммой: . Таким образом, главный вектор системы сил является векторным инвариантом. Для одной и той же системы сил он не зависит от выбора центра приведения.

Получим второй скалярный инвариант. Для этого умножим правую и левую части уравнения (9.2) скалярно на , получим

,                                                  (9.3)

или

,                                                                             (9.4)

так как смешанное произведение векторов, содержащих два одинаковых множителя R, равно нулю, т.е. .

Как видно из соотношения (9.4), скалярное произведение главного момента на главный вектор не зависит от центра приведения, т.е. является вторым скалярным инвариантом: Выражение (9.4) можно записать так:

,

где  - угол между векторами  и , а  - между  и (рис. 9.4). После сокращения на R получим

.                                                                (9.5)

Проекция главного момента на направление главного вектора не зависит от центра приведения. Разложим главный момент в каждом центре приведения на две взаимно перпендикулярные
	Рис.9.4

составляющие, одна из которых направлена по главному вектору . Учитывая, что главные векторы в различных центрах приведения согласно (9.5) равны, получим (рис.9.4):

.

Частные случаи приведения пространственной системы сил

Произвольная система сил приводится к силе, равной главному вектору  и паре сил, векторный момент которой равен главному моменту . В зависимости от их взаимного направления, т.е. угла  между ними, можно произвести дальнейшие упрощения.

Приведение к паре сил. Если , то система сил приводится к одной паре сил, причем главный момент в этом случае, согласно (9.5), не зависит от выбора центра приведения. В этом случае оба инварианта системы равны нулю, т.е. , .

Приведение к равнодействующей. Возможны два случая.

Если  (первый инвариант  второй - ), то система приводится к равнодействующей силе , равной по модулю и направлению главному вектору , т.е. . Линия действия равнодействующей силы в этом случае проходит через центр приведения.

Если , но α=90˚, т.е.  (первый инвариант  второй ), то система сил тоже приводится к равнодействующей, причем опять . Но линия действия равнодействующей силы  находится на расстоянии от центра приведения на расстоянии  (рис.9.5).

В этом случае имеем силу  и пару сил с векторным моментом , причем силы пары можно считать расположенными в одной плоскости с равнодействующей , так как векторный момент пары перпендикулярен .

Поворачивая и перемещая пару сил в ее плоскости, а также изменяя силу пары и ее плечо, при сохранении модуля векторного момента, можно получить одну из сил пары , равной по модулю, но противоположной по направлению главному вектору .

	Другая сила пары  и будет равнодействующей. Таким образом, рассматриваемая система сил оказалась эквивалентной одной силе, которая и является равнодействующей силой , которая по модулю и направлению совпадает с главным вектором . . Плечо пары сил  определяется из условия . Отрезок d определяет кратчайшее расстояние
Рис.9.5

от центра приведения О до линии действия .

Приведение к динаме.

Совокупность силы и пары сил, лежащей в плоскости, перпендикулярной силе, носит название динама или динамического вектора (рис. 9.а).

а		б
Рис.9.6

Используя векторный момент  пары , можно также определить динаму как совокупность силы и пары сил, в которой сила параллельна векторному моменту пары сил (рис.9.6б). Сила  и векторный момент пары

 могут быть направлены как в одну, так и в противоположные стороны.

Рассмотрим случай, в котором главный вектор , главный момент относительно центра О  и векторы  и  неперпендикулярные. В этом случае оба инварианта не равны нулю, т.е. , .

Если центр приведения О выбран произвольно (рис. 9.7), то главный вектор  и главный момент  будут составлять между собой некоторый угол , в общем случае отличный от нуля.

Рис. 9.7

Разложим главный момент  на две составляющие: составляющую , направленную вдоль главного вектора , и составляющую , перпендикулярную к главному вектору - таким образом, что

Вектор  как инвариант системы, согласно (9.5), есть величина для данной системы постоянная, не зависящая от выбора центра приведения. Причем численно из (9.4) получим

,

откуда        .

Таким образом, с изменением центра приведения будет изменяться только перпендикулярная составляющая . Мы всегда можем найти такой центр приведения , чтобы составляющая  обращалась в нуль; тогда главный момент и главный вектор будут направлены по одной прямой, т.е. будут коллинеарные, а вектор главного момента будет иметь минимальную величину, равную .

Линия, вдоль которой направлена сила динамы , называется центральной винтовой осью. Во всех точках винтовой оси, принятых за центры приведения, система приводится к одной и той же динаме. Расстояние от центра приведения О до центральной винтовой оси

.

Совокупность сил, образующих динаму, можно заменить двумя скрещивающимися силами. Для этого следует одну из сил пары  (рис.9.8а) совместить с точкой приложения силы  и сложить с этой силой (рис.9.8б) ( ). Итак, рассмотрены все возможные случаи, кроме случая равновесия системы сил ( ), рассмотренного ранее в лекции 6.	а
	б
	Рис.9.8