Принцип Д’Аламбера для механической системы

Принцип Д’Аламбера для материальной точки

Уравнение движения материальной точки массой m относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных сил, равнодействующая которых , имеет вид

.                                            (6.1)

Перепишем это уравнение в виде

.                                                (6.2)

Введя обозначение

,                                     (6.3)

получим

.                                    (6.4)

Вектор , равный по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленный противоположно вектору ее ускорения, называется силой инерции.

Уравнение (6.4) выражает принцип (уравнение) Д’Аламбера: в каждый момент движения геометрическая сумма внешних  сил  и силы инерции равна нулю.

При этом следует иметь в виду, что к материальной точке приложена только равнодействующая сила  т.е. внешняя сила и реакция связи, если точка не свободна. Сила же инерции к точке не приложена, а появляется при движении точки.

Метод кинетостатики является формальным приемом сведения уравнения динамики к уравнению статики, причем при решении практических задач

такой прием обладает рядом достоинств.

Пример 1. Шарик массой m подвешен на нити длиной L. Шарику сообщают равномерное движение по окружности в горизонтальной плоскости (рис. 6.1). Нить составляет угол  с вертикалью. Определить скорость шарика и натяжение нити.

Решение. Направим ось Оу вертикально вниз, а плоскость хОу пусть проходит через шарик в рассматриваемый момент времени (рис. 6.1).При равномерном движении по окружности точка имеет ускорение

,

направленное по оси О x к центру окружности, т.е. к точке О. Сила инерции направлена по оси Оx против направления  и по модулю (согласно 6.3), равна

.

Далее освободимся от связи, заменим ее силой натяжения Т. Составим уравнение Д’Аламбера (6.4) (уравнение кинетостатики):

.

Перейдем от векторного уравнения к скалярному. Для чего спроецируем полученное уравнение на координатные оси

Отсюда находим

.

Принцип Д’Аламбера для механической системы

Рассмотрим материальную точку массой  системы, состоящей из N точек (рис. 6.2). Обозначим ускорение этой точки , равнодействующую внешних сил через , равнодействующую внутренних сил, приложенных к той же точке через . Реакции связей входят в . Тогда принцип (6.4) будет иметь вид

               (6.5)

где .

Складывая почленно все N уравнений (6.5), получим

                            (6.6)

Первая сумма в уравнении (6.6) равна главному вектору  внешних сил, приложенных к системе; вторая сумма равна нулю, поскольку геометрическая сумма всех внутренних сил системы равна нулю (3.1); последняя – главному вектору  сил инерции. Таким образом, (6.6) запишем как

,                                    (6.7)

т.е. в каждый момент времени сумма главных векторов внешних сил и сил инерции движущейся системы равна нулю.

Выберем произвольный полюс О и проведем из него к точке  радиус-вектор  (рис. 6.2). Умножая каждое слагаемое из (6.6) векторно на соответствующий радиус-вектор  слева и складывая все N полученных таким образом уравнений, имеем

.

Первая сумма равна главному моменту  внешних сил, приложенных к системе; вторая сумма равна нулю (3.2), а последняя – главному моменту  сил инерции. Следовательно,

,                         (6.8)

т.е. в каждый момент времени сумма главных моментов внешних сил и сил инерции движущейся механической системы равна нулю.

Двум векторным уравнениям (6.7) и (6.8) соответствуют шесть уравнений в проекциях на оси декартовых координат

                   (6.9)

Движение твердого тела, как частный случай механической системы, вполне определяется этими шестью уравнениями. Если рассматривается система, состоящая из нескольких тел, то можно составить соответствующие уравнения для каждого тела в отдельности.