Условия равновесия системы сходящихся сил

Пусть на абсолютно твердое тело действует система сходящихся сил. Тогда для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая системы  была равна нулю, т.е.

.                                                                                          (2.6)

Это условие равновесия в векторной форме. В проекциях на оси декартовых координат условия равновесия представляют так:

; ;  ,                      (2.7)

т.е. для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из осей координат была равна нулю. (Для плоской системы сил в проекциях будут только два условия равновесия).

Геометрически условие равновесия (2.6) означает следующее: поскольку для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая равнялась нулю, то необходимо и достаточно, чтобы векторный многоугольник, построенный на этих силах, как на сторонах, был замкнутым. Равнодействующая является замыкающей векторного многоугольника, сторонами которого являются слагаемые силы.

Чтобы узнать, будет ли находиться в равновесии система трех сил , ,  (рис.2.3а), из любой произвольной точки А  проводим вектор, равный силе , через его конец В проводим прямую, параллельную линии действия вектора , и откладываем на ней отрезок, равный силе F ₂, и т.д., т.е. строим силовой многоугольник (рис.2.3б). Если векторный (силовой) многоугольник АВС оказывается замкнутым, то рассматриваемая система сил находится в равновесии.

а		б
Рис.2.3

Пример.1. Тяжелый шар весом Р кН подвешен на нерастяжимой нити в точке А и удерживается горизонтальной нерастяжимой нитью, привязанной точке В, угол a задан (рис.2.4а). Найти реакции связей.

Решение. В этой задаче на шар действует три силы: вес Р (внешняя сила), которая задана, и, кроме того, две реакции связей в точках А и В. Эти силы пересекаются в точке О (рис.2.4б) (центр шара) и лежат в одной плоскости. Выберем прямоугольную систему координат, стремясь сделать это наиболее удобным образом для проецирования сил. Условия равновесия относительно выбранной системы координат запишутся так: ,  ; ,    .	а     б   в
		Рис.2.4

Из этих уравнений определяем неизвестные  и  :

k Н,  k Н.

Решим эту задачу графически. Так как три силы Р , Т_А и Т_В находятся в равновесии, то силовой многоугольник, составленный из этих сил, должен замыкаться. Строим силовой многоугольник (рис.2.4в). Для этого в определенном масштабе строим силу Р, которая нам известна, а затем через начало и конец вектора Р проводим прямые,параллельные линиям действия Т_А и Т_В соответственно, до пересечения. Тогда, измерив две остальные стороны построенного силового треугольника в масштабе силы Р, найдем реакции Т_А и Т_В, или , если есть трудности с измерением, воспользуемся теоремой синусов:

 .

Из этих уравнений получим предыдущий результат.