Центр тяжести твердого тела

Центр параллельных сил

Рассмотрим систему параллельных сил , приложенных к твердому телу в точках А₁, А₂,…, А_n (рис.10.1). Эта система имеет равнодействующую , направленную так же, как слагаемые силы, причем по модулю

.

	Если теперь каждую из сил системы поворачивать около ее точки приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, то мы будем получать новые системы одинаково направленных параллельных сил с теми же модулями и точками приложения, но с другим общим
Рис.10.1	направлением (пунктирные линии на рис.10.1).

Равнодействующая каждой из таких систем параллельных сил будет иметь тот же модуль R, но всякий раз другую линию действия.

Покажем, что при всех поворотах линия действия равнодействующей всегда проходит через одну и ту же точку С. В самом деле, сложив сначала силы  и , найдем, что их равнодействующая  при любых поворотах сил будет проходить через точку С₁, лежащую на прямой А₁А₂ ,и удовлетворять равенству , так как при поворотах сил ни положение прямой А₁А₂ ,ни это равенство не меняется. Складывая теперь силу  с силой , мы получим, что их равнодействующая будет проходить через аналогично определяемую точку С₂, лежащую на прямой С₁А₃ , и т.д. Доведя эту операцию последовательного сложения до конца, мы убедимся, что равнодействующая  всех сил действительно проходит всегда через одну и ту же точку С, положение которой по отношению к точкам А₁, А₂,…, А_n будет неизменным.

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Найдем координаты центра параллельных сил. Выберем оси координат XYZ и обозначим координаты точек: А₁(х₁у₁z₁), А₂(х₂у₂z₂),…, А_n(х_nу_nz_n), С(х_Су_Сz_С).Повернем сначала силы так, чтобы они были параллельны оси Оz, и применим к силам  теорему Вариньона. Так как  является равнодействующей этих сил, то, вычисляя моменты относительно оси Оу, получим

.

Отсюда находим (имеем в виду, что )

.                                      (10.1)

Для координаты у_С аналогичные формулы получим, вычисляя моменты относительно оси ОX. Чтобы определить z_С, повернем все силы, сделав их параллельными оси ОY. Применив к этим силам теорему Вариньона, вычислим моменты относительно оси ОX.

Окончательно получим следующие формулы для координат центра параллельных сил:

                                (10.2)

Центр тяжести твердого тела

Центром тяжести тела называют геометрическую точку, через которую проходит равнодействующая сила всех сил тяжести, действующих на частицы тела при любом его положении в пространстве. Она совпадает с центром системы параллельных сил, которую приближенно образуют силы тяжести его элементарных частиц (рис. 10.2).

	Радиус-вектор центра тяжести тела  вычислим по формуле        ,    (10.3) где  - радиус-вектор точки приложения силы тяжести элементарной части тела, принятой за точку;  - сила тяжести элементарной
Рис.10.2	частицы; - сила тяжести всего

тела.

Если в (10.3) перейти к пределу, увеличивая число элементарных частей n до бесконечности, то после замены суммы интегралом получим

.                                                               (10.3 ^' )

В проекциях на оси координат из (10.3) и (10.3 ^' ) получим

, , ;  (10.4)

Для однородного твердого тела силу тяжести элементарной частицы тела можно вычислить по формуле

,

где  - удельный вес тела;  - объем элементарной частицы.

 Сила тяжести всего тела

,

где V – объем тела.

 Подставляя эти значения в уравнения (10.3) и (10.3^'), после сокращения на  получим формулы:

                                                (10.5)

по которым определяют центр тяжести тела.

По аналогии для плоских тел, у которых один размер мал по сравнению с двумя другими, имеем

                                                        (10.6)

где  - площадь элементарной частицы поверхности; A – площадь всей поверхности.

Для однородных тел типа проволоки, у которых два размера малы по сравнению с третьим, определим радиус-вектор центра тяжести по формулам

                                                         (10.7)

где  - длина элемента линии; L – общая длина линии.