Законы распределения носителей в зонах полупроводника

В теории твердого тела показывается, что энергетические уровни распределены по высоте разрешенной зоны неравномерно: плотность их меняется от границы в глубь зоны. Таким образом, каждому уровню с энергией  соответствует определенная плотность , т. е. число уровней, отнесенное к единице энергии и единице объема твердого тела. Вблизи «дна» и «потолка» каждой из разрешенных зон плотность уровней (1/Дж см³) для узких интервалов энергии  выражается следующей формулой:

                    (1-1,а)

Здесь h – постоянная Планка ( ); m* - эффективная масса; энергия  отсчитывается от граничного уровня  внутрь зоны.

Вероятность нахождения электрона на том или ином уровне дается распределением Ферми - Дирака

,                                   (1-1,б)

где k – постоянная Больцмана ( ); T – абсолютная температура;  - энергия, называемая уровнем Ферми (энергия  соответствует энергетическому уровню, вероятность заполнения которого равна 1/2).

В дальнейшем будет удобнее выражать энергию не в джоулях, а в электрон-вольтах или просто в вольтах. Чтобы перейти от одной размерности к другой, достаточно разделить энергии  и  на элементарный заряд электрона . Сделав такую замену в формулах (1-1), получим

 ;                   (1-2,а)

,                                   (1-2,б)

где  - потенциал, характеризующий энергию;  - уровень Ферми (потенциал Ферми в вольтах);  - температурный потенциал:

.                                            (1-3)

Название «температурный потенциал» для величины  вполне оправдано, поскольку она имеет размерность напряжения и пропорциональна температуре. С физической точки зрения температурный потенциал есть выраженная в электрических единицах статистическая температура или близкая к ней средняя кинетическая энергия свободного электрона в электрическом газе. Полезно запомнить, что при температуре  (которую мы условно будем называть «комнатной» температурой ) температурный потенциал равен .

В невырожденных полупроводниках уровень Ферми  всегда лежит в запрещенной зоне. Глубину его залегания можно характеризовать «расстоянием» от одной из разрешенных зон, выраженным в единицах температурного потенциала. В большинстве случаев уровень Ферми  залегает глубоко, т. е. соблюдаются неравенства

 ;                                    (1-4,а)

 ,                                    (1-4,б)

где  и  - потенциалы «дна» зоны проводимости и «потолка» валентной зоны.

При температуре  функция  имеет ступенчатый характер, это соответствует уже известным фактам: валентная зона полностью заполнена , зона проводимости пуста .

При температуре  ступенька функции  сглаживается и получается конечная (хотя и крайне малая) вероятность нахождения электронов в зоне проводимости. Одновременно вероятность нахождения электронов в валентной зоне делается немного меньше единицы. В последнем случае удобнее пользоваться вероятностью отсутствия электронов на уровнях или, что то же самое, вероятностью наличия дырок:

,                                  (1-5)

Учитывая неравенство (1-4а), нетрудно убедиться, что в зоне проводимости, где , экспонента в выражении (1-2б) намного превышает единицу и функция  упрощается:

.                                            (1-6,a)

Аналогично, учитывая неравенство (1-4б), нетрудно убедиться, что и в валентной зоне, где , экспонента в выражении (1-5) намного превышает единицу и функция  упрощается:

.                                        (1-6,б)

Функции (1-6), которые являются частным случаем распределения Ферми – Дирака (для области энергий, достаточно отличных от энергии ), называются распределением Максвелла – Больцмана. Это распределение представляет собой основу теории полупроводников.

Концентрация свободных электронов в зоне проводимости определяется интегралом

,

где подынтегральное выражение есть количество заполненных уровней в элементарном интервале энергий , расположенном в зоне проводимости, а множитель 2 означает, что на каждом уровне могут (по принципу Паули) находиться два электрона.

Подставив (1-2а) и (1-6a) под знак интеграла, после преобразований получим:

                                                                 (1-7,a)

где  - эффективная плотность состояний в зоне проводимости;  - эффективная масса электрона; m – масса свободного электрона.

Концентрация свободных дырок в валентной зоне определяется интегралом

.

Подставив сюда (1-2.а) и (1-6.б), после преобразований получим:

,                                (1-7,б)

где  - эффективная плотность состояний в валентной зоне.

Из выражений (1-7) следует, что

      (1-8)

где   - ширина запрещенной зоны.

Ширина запрещенной зоны – один из важнейших параметров полупроводников: он определяет энергию, необходимую для образования электронно-дырочных пар. Ширина запрещенной зоны зависит от температуры: , где  - ширина запрещенной зоны при ;  - температурная чувствительность. Для кремния , , отсюда  при комнатной температуре.

Так как при определенной температуре все члены, входящие в уравнение (1-8), постоянны то

.

Таким образом, следует важный вывод.

В равновесном состоянии произведение концентраций носителей зарядов для данного полупроводника при определенной температуре есть величина постоянная, не зависящая от концентрации и распределения примесей.

Из формул (1-7) легко получить отношение концентраций в следующем виде:

                                       (1-9)

где  - потенциал середины запрещенной зоны, который называют также электростатическим потенциалом полупроводника.

Уровень Ферми

Уровень Ферми, как мы убедились, играет важную роль в теории полупроводников, а значит, и полупроводниковых приборов. Поэтому имеет смысл уточнить это понятие. Уровень Ферми ранее считался известным, с его помощью вычислялись концентрации свободных носителей. На самом же деле уровень Ферми является функцией этих концентраций, а концентрации предварительно оцениваются из тех или иных соображений, которые рассмотрим позднее.

Решив выражения (1-7) относительно величины , получим:

;                                    (1-10,а)

.                                    (1-10,б)

В общем же виде потенциал Ферми есть сумма электрического и химического потенциалов:

;                                              (1-11,а)

,                                                 (1-11,б)

где ;               .               (1-12)

Величину , определяемую выражениями (1-12), в статистической физике называют химическим потенциалом. Физический смысл этой величины состоит в следующем. Химический потенциал является однозначной функцией концентрации соответствующих частиц. Поэтому наличие разности  химических потенциалов означает наличие разности концентраций, а разность концентрации, естественно, вызывает перемещение – диффузию частиц в направлении от большей концентрации к меньшей. Таким образом, химический потенциал характеризует возможность диффузии свободных частиц (заряженных или не заряженных), подобно тому, как электрический потенциал характеризует возможность дрейфа свободных частиц (если они являются носителями заряда). Учитывая приведенные выражения для  и , приходим к выводу, что потенциал Ферми, отсчитанный от границы той или иной зоны (т. е. без учета потенциальной энергии), есть химический потенциал соответствующих носителей.

Отсюда следует еще одно название потенциала Ферми - электрохимический потенциал. Градиент потенциала Ферми, будучи суммой градиентов электрического и химического потенциалов, позволяет одновременно характеризовать оба типа движения носителей – диффузию и дрейф.