Электрон в потенциальной яме

Лекция 9. Квантовые эффекты в нано-МДПТ

 

    Масштабирование требует сокращения как горизонтальных, так и вертикальных размеров МДПТ. Поэтому при уменьшении длины канала необходимо уменьшать толщины подзатворного окисла и обедненной области. Уменьшение толщины обедненной области требует увеличения концентрации примеси в подложке. В результате агрессивного масштабирования при переходе размеров в наноразмерную область толщина подзатворного окисла достигла 1нм, а концентрация примеси в подложке ~10¹⁸см^-3. Одновременно с уменьшением размеров растет электрическое поле в подзатворном диэлектрике и инверсионном слое. Наиболее очевидный квантовомеханический (КМ) эффект, связанный с очень тонким окислом, есть ток утечки вследствие прямого туннелирования через окисел. Экспоненциальный рост этого эффекта устанавливает минимальную практическую толщину окисла примерно 10Å. Вторым важным эффектом, играющим важную роль в работе наноразмерных МДП-транзисторов, является размерное квантование электронов в приповерхностном слое. Этот эффект оказывает влияние как на величину заряда, который может быть индуцирован в канале электродом затвора через окисел, так и на профиль распределения заряда в направлении, перпендикулярном поверхности. Размерное квантование может происходить не только в подложке, но и в поликремниевом затворе.

    Влияние  туннелирования  рассмотрено в лекции, посвященной токам утечки в наноразмерном транзисторе. Оно проявляется не только в туннелировании через окисел, но и в туннелировании через обратно смещенный р-п переход сток-подложка при высокой концентрации примеси в подложке, а также вследствие GIDL-эффекта. В настоящей лекции будут рассмотрены проблемы размерного квантования в наноразмерных МДП-приборах.

 

Электрон в потенциальной яме

    Когда электрон локализован в области, размеры которой сравнимы с длиной волны электрона, начинают проявляться квантовомеханические (КМ) эффекты.

    Пусть электрон находится в бесконечно глубокой потенциальной яме, шириной L:

                           .

Волновая функция электрона  (см^-1/2) удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера

                                         

с граничными условиями . Решением уравнения является

                                

 спектр разрешенных уровней энергии электрона E_n

                                                   ,

а самый нижний уровень энергии ( ) определяется как

                                                   .

    В МДПТ в режиме инверсии электроны локализованы в потенциальной яме, а область локализации сравнима с длиной волны электрона. Поэтому становится необходимым учет КМ поведения электронов.

  Полное решение для инверсного слоя кремния требует численного самосогласованного решения уравнений Пуассона и Шредингера.  В подпороговом режиме, когда плотность инверсного заряда мала, можно считать, что изгиб зон определяется только зарядом обеднения. Тогда возможно развязать два уравнения и получить некоторое понимание влияния квантовомеханического эффекта (КМЭ) на пороговое напряжение. Так как электроны инверсного слоя локализованы в узкой области вблизи поверхности, где электрическое поле  почти  постоянно, хорошей аппроксимацией при рассмотрении потенциальной ямы  является ее представление в виде бесконечно высокого барьера окисла для
 x < 0 и линейной зависимости потенциала  вследствие заряда обеднения для  x > 0 − приближение треугольной потенциальной ямы (triangular well approximation − TWA) (рис. 9.1).

 

 

 

  Движение электрона ограничено только в направлении x, то есть перпендикулярно поверхности. В плоскости  электрон движется как свободный электрон с эффективной массой . Волновую функцию электрона можно представить в виде суперпозиции волновой функции для свободных электронов в плоскости

                             

и волновой функции для движения перпендикулярно границе (по оси х) :

                              .

Волновая функция  находится из решения уравнения Шредингера в приближении эффективной массы

                                                (9.1.1)

Таким образом, при каждом значении электронный газ двумерен, то есть полностью описывается волновыми векторами  и обладает квазинепрерывным спектром:

                              .

Область энергий, которыми может обладать электрон с данным квантовым числом , называется поверхностной подзоной. В случае скалярной эффективной массы поверхностная подзона представляет собой параболоид вращения.

  Уравнение Шредингера (9.1.1) решается при граничных условиях равенства нулю волновой функции при x = 0 и на бесконечности. Его решением являются функции Эйри (Airy)[1] , а собственные значения , находятся из условия  [2]:

                                  ,                              (9.1.2)

где  − эффективная масса электрона в направлении ограничения (по оси x).

    Эффективная масса электрона определяется зонной структурой кремния и ориентацией кристалла. Мы будем предполагать, что плоскость раздела Si-SiO₂ параллельна плоскости (100) решетки кремния. В этой плоскости изоэнергетические поверхности электронов имеют вид шести эллипсоидов, как показано на рис.9.2. Два из них ( ) вдоль оси ‹100› характеризуются продольной эффективной массой , а другие четыре ( ) вдоль той же оси ‹100› − поперечной эффективной массой . Энергетические уровни в этих двух типах долин

 

Рис. 9.2

обозначаются как для первого типа долин (g₁) и для второго типа долин (g₂) и находятся из решения уравнений Шредингера с соответствующими эффективными массами:

                      

                       .

Решение уравнений дает

                           ,

                           .

Для энергетических уровней выполняется соотношение, , поскольку .

    Зная решение уравнения Шредингера, можно найти среднее расстояние инверсного заряда (центроид) в j-той подзоне от поверхности кремния:

                                .

Рис.9.3. Пример квантовомеханического расчета изгиба зон и энергетических уровней электронов инверсного слоя вблизи поверхности кремния. Основное состояние  примерно на 40мэВ выше нижнего края зоны проводимости на поверхности. Пунктир – уровень Ферми при плотности электронов инверсного слоя 1012/см2 [1].

   На рис. 9.3 приведен пример расчета энергетических уровней и изгиба зон. Концентрация электронов имеет пик ниже границы кремний-оксид и равна нулю на границе, как диктуют граничные условия на волновую функцию. Это сильно отличается от классической модели, в которой пик концентрации электронов находится на поверхности, как показано на рис.9.4.

   Квантовомеханическое поведение электронов инверсного слоя влияет на работу МДПТ двумя путями.  Во-первых, в сильных полях пороговое напряжение становится выше, так как требуется больший изгиб зон, чтобы заселить самую нижнюю подзону при некоторой энергии выше дна зоны проводимости. Во-вторых, поскольку инверсный слой формируется ниже поверхности, он требует более высокого напряжения на затворе, чтобы создать данный уровень инверсной плотности заряда. В результате полупроводник ведет себя так, как если бы увеличилась ширина запрещенной зоны, величина которой зависит от поперечного поля и растет вместе с ним.

Рис.9.4. Классическое и квантовомеханическое распределения плотности электронов инверсного слоя - кремния. Пунктирная линия показывает распределение плотности электронов для самой нижней подзоны [1].

Увеличенная ширина запрещенной зоны делает более трудным для электронов переход из валентной зоны в зону проводимости, приводит к уменьшению собственной концентрации и увеличивает эффективный потенциал Ферми  (расстояние от уровня Ферми до середины зоны). Теперь требуется больший изгиб зон, чтобы достичь необходимого уровня инверсии; это соответствует увеличению поверхностного потенциала на величину, которая изменяется с продольным электрическим полем. Это влияет на характеристики прибора и приводит к увеличению порогового напряжения в пМОПТ. Другими словами, эффективная толщина подзатворного оксида слегка больше, чем физическая толщина. Это уменьшает крутизну и рабочий ток МОПТ.