Преобразование Гильберта

ДПФ с прореживанием по частоте

Отличается от ДПФ с прореживанием по времени тем, что выполняется в обратном порядке. В данном случае, структура «бабочки» имеет следующий вид:

Тогда структура вычисления ДПФ имеет следующий вид:

Основание алгоритма БПФ

Это минимальный размер «кусочков» входного сигнала, после всех его последовательных разбиений

В алгоритмах "RADIX-2" результат ДПФ основания не требует умножений и равен

В алгоритмах "RADIX-4" количество отсчетов сигнала должно быть равно степени четверки, при каждом прореживании сигнал делится на четыре фрагмента, а последней стадией деления являются четырехэлементные последовательности. При вычислении их ДПФ умножение производится только на ±j, а такое умножение сводится к взаимной перестановке вещественной и мнимой частей комплексного числа с изменением знака у одной из них:

Преобразование Гильберта

Для выделения амплитуды и фазы произвольный сигнал s(t) представляется как вещественная часть комплексного сигнала s_a(t) (он называется аналитическим сигналом): S(t) = Re(S_a(t))

Вещественная часть аналитического сигнала, естественно, должна совпадать с исходным сигналом s(t). Мнимая же часть s_⊥(t) называется сопряженным сигналом или квадратурным дополнением: S_a(t)=S(t)+jS_⊥(t)

Сопряженный сигнал получается из исходного с помощью преобразования Гильберта, вычисляемого следующим образом:

Данный интеграл представляет собой свертку сигнала s(t) и функции 1/(πt). Это означает, что преобразование Гильберта может быть выполнено линейной стационарной системой (см. свойства ЛС систем). Из этого, в свою очередь, следует, что мы можем определить частотную характеристику преобразования Гильберта:

Итак, амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) преобразования Гильберта равна единице всюду, кроме нулевой частоты, т. е. преобразование Гильберта не меняет амплитудных соотношений в спектре сигнала, лишь удаляя из него постоянную составляющую. Фазы всех спектральных составляющих в области положительных частот уменьшаются на 90°, в области отрицательных частот — увеличиваются на 90°.

Таким образом, устройство, осуществляющее преобразование Гильберта, должно представлять собой идеальный фазовращатель, вносящий на всех частотах фазовый сдвиг, равный 90°.

Обратное преобразование Гильберта имеет вид:

Прямое и обратное преобразование Гильберта отличаются лишь знаком.

Спектр аналитического сигнала

И так, аналитический сигнал имеет вид: S_a(t)=S(t)+jS_⊥(t)

Соответственно, спектр такого сигнала имеет вид:

В области положительных частот спектры вещественного сигнала и добавленной мнимой части (с учетом дополнительного 90-градусного фазового сдвига, вносимого множителем j) складываются, давая удвоенный результат. В области же отрицательных частот эти спектры оказываются противофазными и взаимно уничтожаются. В результате спектр аналитического сигнала оказывается односторонним.

Итак, чтобы для произвольного сигнала определить амплитудную огибающую и фазовую функцию, необходимо прежде всего сформировать аналитический сигнал, получив его мнимую часть с помощью преобразования Гильберта. Далее амплитудная огибающая находится как модуль аналитического сигнала:

Чтобы получить начальную фазу сигнала, нужно выделить из полной фазы линейное слагаемое ω₀t . Для этого, в свою очередь, нужно знать значение центральной частоты ω₀ . После этого можно будет получить начальную фазу и комплексную огибающую:

Спектр комплексной огибающей представляет собой сдвинутый на ω₀ спектр аналитического сигнала

В общем случае спектр комплексной огибающей не является симметричным относительно нулевой частоты