Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Теоретический материал для подготовки к самостоятельной работе

Раздел 1 Теория чисел

Комплексные числа. Основные понятия и определения. Решение многих задач сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов математики. Стремление сделать уравнение разрешимым - одна из главных причин расширения понятия числа.Рациональные и иррациональные числа образуют множество R действительных чисел. Однако действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить уравнение. Корень уравнения или называется мнимой единицей и обозначается буквой i. Таким образом, символ iудовлетворяет условию

Комплексным числом называется число видаa+bi, где aи b – действительные числа, а i- мнимая единица. Число а называется действительной частью комплексного числа, а число bi – мнимой частью. Запись комплексного числа в виде z= a+bi называется алгебраической формой записи комплексного числа. Два комплексных числа  и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимой части.

Понятия«больше» и «меньше» для комплексных чисел не определяются.

Комплексные числа a+bi и a-biназываются сопряжёнными, а комплексные числаa+bi и -a-bi называются противоположными комплексными числами.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Суммой двух комплексных чисел и  называется комплексное число .

Произведением двух комплексных чисел называется комплексное число.

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению; деление комплексных чисел как операция, обратная умножению. При делении на комплексное число достаточно умножить числитель и знаменатель дроби на число сопряжённое знаменателю

Пример 1. Найти сумму и разность комплексных чисел  и .

Решение. Сумму находим сложением двучленов  :

Произведение находим перемножением двучленов с последующей заменой на -1.

Пример 2. Даны комплексные числа  и . Найти разность  и частное .

Решение. Разность находим формальным вычитанием двучленов  и :

Чтобы найти частное , умножим числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное знаменателю :

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

  Комплексное число  изображается на координаиной плоскости точкой  или вектором , начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой .

Координатная плоскость называется при этом комплексной плоскостью, ось абсцисс – действительной ось, а ось ординат – мнимой осью.

Модулем комплексного числа  называется абсолютная величина вектора, соответствующего этому числу. Для модуля числа  используются обозначения , На основании теоремы Пифагора получается формула

Например, комплексное число  имеет модуль, равный 10, так как .

Аргументом комплексного числа  называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором, соответствующим этому числу. Аргумент комплексного числа z= a+bi можно находить так:

а) найти острый угол

б) найти аргумент комплексного числа в зависимости от того, в какой координатной четверти лежит вектор, соответствующий этому числу: в 1 четверти ; во 2 четверти ; в 3четверти ; в 4 четверти .

Пример 3. Найдите аргумент комплексного числа .

Решение. Находим угол . Вектор, соответствующий данному комплексному числу, лежит в 4 координатной четверти, поэтому аргументом числа является . Аргументы действительных и чисто мнимых чисел надо находить непосредственно, исходя из их геометрической интерпретации, а, не используя приведенное выше правило.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Пусть дано комплексное число . Можно выразить действительные числа  через модуль числа  следующим образом:  Таким образом, комплексное число можно записать в виде где модуль комплексного числа, a  один из его аргументов. Представление комплексного числа  в указанном виде называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической, достаточно найти его модуль и аргумент. Аргумент комплексного числа можно находить из системы

Пример 4. Записать число в тригонометрической форме.

Решение. Находим модуль .

Находим угол . Вектор, соответствующий данному комплексному числу, лежит в 3 координатной четверти. Аргументом является Следовательно Что бы перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа к алгебраической, достаточно найти действительные числа

Пример 5. Записать число в алгебраической форме.

Решение. Сначала найдем  и :

 Следовательно,

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Если  и , то

Если то

где  – арифметический корень,

Пример 6. Даны комплексные числа  Найти их произведение и частное. Ответ записать в алгебраической форме.

Решение. Применим правила умножения и деления комплексных чисел

Пример 7.Вычислить .

Решение. Находим z

Пример 8. Вычислить . Решение. Запишем число  в тригонометрической форме. Находим

Тогда

Пример 9. Вычислить Ответ записать в тригонометрической и алгебраической формах.

Решение. Запишем число -81 в тригонометрической форме:

. Следовательно,

При

Показательная форма комплексного числа.

 Рассматривая функцию  для комплексного переменного, Эйлер установил соотношение которое называется формулой Эйлера.

Из этой формулы следует, что каждое комплексное число можно записать в форме которая называется показательной формой записи. Над комплексными числами, заданными в показательной форме, удобно производить умножение и деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня:

Пример 10. Представить число  в алгебраической форме.

Решение. По условию,  откуда Значит,
Пример 11. Выполнить действия и записать ответ в тригонометрической и показательной формах:

Решение. Сначала выполним действия:

Теперь запишем число в тригонометрической и показательной формах, для чего найдем модуль и аргумент: Тогда .