Плотность энергии теплового излучения.

ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

 

Все нагретые тела являются источниками электромагнитного излучения. 

Излучение, испускаемое веществом за счет своей внутренней тепловой энергии, имеет непрерывный частотный спектри называется тепловым.

 

Тепловая энергия вещества – это энергия хаотического движения его частиц (поступательного. колебательного, вращательного движения). Количественной мерой средней энергии теплового движения большого числа атомов и молекул вещества является температура Т.

В процессе обмена энергией через излучение, даже в отсутствие теплопроводности и конвекции, одни тела охлаждаются, другие нагреваются. Через некоторое время в системе «вещество + излучение» устанавливается термодинамическое равновесие, при котором все тела имеют одинаковую температуру  Т,  и эта же температура Т характеризует состояние равновесного излучения.

 

Свойства и основные законы теплового равновесного излучения:

Равновесное тепловое излучение изотропно,  однородно и не поляризовано.

2. Спектр излучения непрерывен и неограничен, частота изменяется в пределах .

3. Энергетическая «светимость»  площадки  излучающей поверхности

поток энергии , испущенный единичной площадкой во всех направлениях в полупространство и просуммированный по всем частотам.

4. Спектральная светимость.

На малый интервал частот от   до   приходится

энергетическая светимость , равная

Функция  называется спектральной энергетической светимостью (спектральной излучательной способностью).

5. Закон Стефана-Больцмана:

,                             где ,  

6. Закон Кирхгофа:

Для всех тепловых источников (излучающих тел), находящихся в термодинамическом равновесии с излучением, справедливо соотношение

,

где коэффициент поглощения излучения (поглощательная способность тела),

c – скорость  света в вакууме; имеет смысл средней плотности потока энергии теплового излучения частоты  в заданном направлении и имеет размерность интенсивности

 ( ).

Функция  является универсальной для всех тепловых источников, зависит только от частоты и температуры  и не зависит от свойств излучающих тел, их внутреннего строения и свойств их поверхности.

Плотность энергии теплового излучения.

Плотность энергии излучения  (энергия в единице объема), приходящаяся на частотный интервал  от   до ,  определяется выражением

 

Универсальная функция спектральная плотность энергии излучения.

Полная энергия излучения в единице объема вычисляется путем суммирования по всем частотам:

.

8. Абсолютно черное тело (АЧТ), тело с абсолютно черной поверхностью – такое, для которого коэффициент поглощения  на всех частотах.

Для абсолютно черного тела: , .

9. Распределение спектральной плотности энергии  по частотам  

(при постоянной температуре ) имеет вид плавной кривой с максимумом при некоторой частоте .

Формула М.Планка.

Гипотеза М.Планка о дискретности возможных значений энергии осцилляторов – источников теплового излучения: , где . Эта гипотеза привела к распределению энергии излучения по частотам в виде

.

Формула Планка согласовывалась с экспериментами для всех доступных значений .

 − постоянная Планка,  - постоянная Больцмана,

 с − скорость света в вакууме.

11. Закон смещения: .

С увеличением температуры  Т  максимум кривой распределения Планка смещается в сторону более высоких частот, при этом площадь под кривой увеличивается в соответствии с законом Стефана-Больцмана.

 

12. Распределение энергии излучения по длинам волн .

 

13. Закон смещения:    ,

 

Максимум кривой распределения с увеличением температуры смещается в сторону более коротких волн, при этом площадь под кривой увеличивается в соответствии с законом Стефана-Больцмана:

.

Следует отметить, что частота связана с длиной волны соотношением , но  

                                                  

 

 

                           Примеры тестовых вопросов .

 

Все ответы на вопросы следует обосновывать, исходя из свойств и законов теплового излучения. Там, где необходимо, надо пояснять выбор правильного ответа  с помощью графиков.

1. Абсолютно черное тело и серое тело имеют одинаковую температуру. При этом интенсивность излучения:

1) тел одинакова;   2)   больше у абсолютно черного тела ;

3) больше у серого тела; 4)   зависит от площади поверхности тел.

 

2. Распределение спектральной плотности энергии в спектре излучения абсолютно черного тела в зависимости  от частоты излучения для температур Т 1  и Т 2  в е рно представлено на рисунке, если   T ₂ >   T ₁ .

T1

⍵m,2

А)

Б)

В)

 

 

Для выбранного рисунка запишите закон смещения:                     -

 

 

3. На приведенном рисунке (справа) показаны кривые зависимости спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела от длины волны при разных температурах. Если  кривая 1 соответствует спектру излучения абсолютно черного тела при температуре 6000 К, то кривая 2 соответствует температуре (в К)…

В арианты ответов:

А) 750;   Б) 3000;  В) 1500;       Г) 1000.

 

4. На рисунке справа изображен спектр  излучения абсолютно черного тела при температуре T. При температуре Т₁ площадь под кривой увеличилась в 81 раз. Температура Т₁ равна…

В арианты ответов:

            

                         А)  1,5 Т;      Б)   3Т;

В)  7Т;        Г)  9Т.

 

5. Если температура  абсолютно черного тела уменьшилась в 2 раза,

то его энергетическая светимость уменьшится …

В арианты ответов:

А) в 2 раза;        Б) в 4 раза; В) в 8 раз;Г) в 16 раз; Д) в 32 раза.

           Примеры задач с решениями.

Задача 1. Определите интенсивность  солнечного излучения     

на земной орбите, считая, что Солнце излучает как абсолютно

черное тело температурой .  Постоянная  в законе

Стефана - Больцмана .  Солнечный диск виден с Земли под углом , где  - средний радиус Солнца, l – среднее расстояние от  Солнца до  Земли.

 

Решение

Поток теплового излучения с поверхности Солнца .

Если пренебречь потерями энергии излучения на пути от Солнца до Земли, то

на земной орбите на расстоянии l от Солнца интенсивность излучения

найдем из соотношения

Учитывая, что по условию , получим

                                       

 

Задача 2. Медный шарик диаметра D=1,2 см поместили в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика Т₀=300 К. Считая поверхность шарика абсолютно черной, найдите, через какое время его температура уменьшится в  раза. Постройте график зависимости температуры от времени.

Удельнаятеплоемкость меди С _m =390 , плотность меди , постоянная Стефана-Больцмана .

 

Решение. Будем пренебрегать изменением объема шара при его остывании.

  Изменение внутренней энергии в процессе остывания шарика запишем в виде

,

    Внутренняя энергия шарика уменьшается в результате теплового излучения. Энергию , которую за время  можно выразить через энергетическую светимость ,   где  – поток излучения, и площадь поверхности шарика :

Из условия       получим уравнение   .

  Задача сводится к интегрированию:

 

После интегрирования для произвольного момента времени  

T0

получаем:

 

 График зависимости  приведен на рисунке.

Время , за которое температура уменьшится до значения , получим заменой: , ,   и

 

 

 Если начальную температуру шарика увеличить в 2 раза (Т₀=600К), то до температуры  он остынет за время минуты.

  Процесс остывания сначала происходит достаточно быстро, а затем замедляется.

 

   Задача 3. Черная пластина, освещаемая Солнцем, ориентирована перпендикулярно

его лучам. Интенсивность солнечного излучения, падающего на пластину,

 равна . Полагая, что Земля излучает как абсолютно черное тело

с температурой , определите температуру T пластины.

  Решение. Обозначим площадь одной поверхности пластины через . Падающие на пластину потоки излучения  (от Солнца),  (от теплового излучения Земли) и поток излучения пластины схематично показаны на рисунке. В условиях теплового равновесия

                          .

Из условия равновесия следует, что   ,

где . После вычислений получаем температуру пластины

Т=337 K, или .

 

Задача 4. Определите мощность излучения Ф _S абсолютно черного тела, если площадь излучающей поверхности тела равна S=3м², а максимум спектральной плотности энергии излучения приходится на длину волны .

Решение :Мощность Ф_S излучения черного тела с площади поверхности S равна

           ,                где .

С учетом закона смещения Вина:     , где      , находим мощность излучения абсолютно черного тела

Задача 5.  В спектре некоторой звезды максимуму спектра излучения соответствует

частота  0,43 10¹⁵ Гц. Найдите температуру поверхности этого космического объекта.

Решение: Из закона смещения

                                                

следует:                      

 

 

      Задачи для самостоятельного решения

1. Поток излучения абсолютно черного тела . Длина волны, на которую приходится максимум излучения .  

Чему равна площадь излучаемой поверхности?

Ответ:

2. Максимум кривой распределения спектральной энергетической светимости абсолютно черного тела при изменении температуры переместился с длины волны  до .

Во сколько раз изменились температура тела и интегральная энергетическая светимость ?

Ответ: ,

3. Найти температуру черного тела, если длина волны, соответствующая максимуму его излучательной способности, на λ = 0,5 мкм больше, чем при температуре 2500 К.

                                                                                                                     Ответ: Т ≈ 1750 К.

4. При какой длине волны излучательная способность абсолютно черного тела с энергетической светимостью    максимальна?                                                              Ответ: 3,4 мкм

 

5. Излучательная способность Солнца максимальна вблизи длины волны 0,48 мкм. В предположении, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, оценить: 1) какую массу теряет Солнце ежесекундно за счет теплового излучения? и 2) за какое время масса Солнца должна уменьшаться на 1%?

                                                                                    Ответ: 1) 0,5 1010 кг/с; 2) ≈1011 лет.

6.  Металлическая  нить диаметром 1 мм и длиной 20 см  нагревается до температуры 3500 К при протекании электрического тока. Считая, что нить излучает в соответствии с законом Стефана-Больцмана, найдите мощность электрического тока, необходимую для такого нагрева, если пренебречь потерями на теплопроводность.

                                                                                                                   Ответ: Р = 5350 Вт.

7. При Т = 3500 К отношение энергетической светимости вольфрама к энергетической светимости абсолютно черного тела равно 0,35. Найдите: 1) радиационную температуру  (температуру черного тела, энергетическая светимость которого равна энергетической светимости вольфрама при даннойтемпературе)

                                                                                                       Ответ:   ≈ 2690 К.

8. Черная пластина, освещаемая Солнцем, ориентирована перпендикулярно его лучам. Определите освещенность пластины, если ее температура равна 300 К.

                                                                                                                 Ответ: Е = 919 Вт/м².