Общая схема исследования функции.

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать на существование вертикальных асимптот.

3. Определить четность или нечетность функции, ее периодичность.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат.

5. Определить промежутки монотонности и точки экстремума.

6. Определить промежутки выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба.

7. Найти наклонные асимптоты. Если наклонных асимптот нет, то установить характер поведения функции на бесконечности.

8. Построить график функции, используя полученные результаты исследования. При необходимости получить дополнительно несколько значений функции, уточняющих вид графика.

Пример. Построить график функции .

Решение.Запишем результаты исследования функции по общей схеме

1. .

2. Прямая  - вертикальная асимптота, т. к. односторонние пределы ; .

3. Функция общего вида, т.к. . Функция не является периодической.

4. - точка пересечения с осями.

5. На промежутке функция , на промежутке функция .

Найдем .  при  и ; при , значит, в точке  функция имеет максимум, , а в точке  функция имеет минимум, .

1. Найдем вторую производную .

На промежутке , а на промежутке , следовательно, на первом промежутке кривая выпукла, а на втором кривая вогнута, но точка  не является точкой перегиба, так как в этой точке функция терпит разрыв.

7.Наклонная асимптота: ; . Таким образом, прямая  является наклонной асимптотой графика функции.

.

2. Построим график, используя полученные данные.

Вопросы для самопроверки.

1. Каков геометрический смысл производной?

2. Пользуясь определением производной, найдите производную функции у=3х.

3. Как вычисляется производная сложной функции? Приведите пример.

4. Что такое вторая производная?

5. Каковы условия возрастания и убывания функции?

6. Что такое точка перегиба?

7. Какие бывают асимптоты? Приведите примеры.

Тема 6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Понятие первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Методы интегрирования: замена переменной под знаком интеграла, интегрирование по частям, интегрирование рациональных дробей.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех xÎ(a;b) выполняется равенство F ¢(x) = f(x).

Например, для функции x² первообразной будет функция x³/3.

Если для F(x) установлено равенство dF(x) = f(x)dx, то F(x) ¾ первообразная для f(x), так как .

Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b)называется неопределенным интегралом и обозначается òf(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то òf(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число. Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.

Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F ¢(x) = f(x) соответствует формула òf(x) dx = F(x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:

Таблица основных интегралов.

1. .

2. , ( ).

3. , ( ).

4.

4′.

5.

6.

7.

8.

9. , ( ).

9′.

10. , ( )-«высокий логарифм”.            

11. , ( ).

11′.

12. , ( ) – «длинный логарифм”.