Определение точки перегиба. Необходимый признак точки перегиба (формулировка). Достаточный признак точки перегиба (формулировка)

Первый достаточный признак экстремума (доказательство). Второй достаточный признак экстремума (формулировка)

Первое достаточное условие

Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой - окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная этой функции меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс - то есть точка минимума.

Доказательство.

1) Рассмотрим -окрестность точки .

2) Пусть и . Тогда функция возрастает на интервале , а на интервале она убывает. Отсюда следует, что значение в точке является наибольшим на интервале , то есть для всех . Следовательно есть точка максимума.

Второе достаточное условие

Если в точке первая производная функции равна нулю ( ), а вторая производная в точке  существует и отличная от нуля ( ), то при в точке функция имеет максимум, а при – минимум.

Доказательство.

Пусть . Так как , то в достаточно малой окрестности точки . Если , то , если , то . Из этого следует, что при переходе через точку первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно есть точка минимума.

18. Определение выпуклости вверх (вниз) графика функции на интервале. Достаточный признак выпуклости вверх (вниз) (формулировка, доказательство*)

Определение.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале , если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала .

Определение.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале , если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала .

Достаточный признак выпуклости вверх (вниз)

Если во всех точках , то график имеет выпуклость вверх, если , то график имеет выпуклость вниз.

Доказательство.

Пусть функция в произвольной точке  выпукла вниз. Тогда в достаточно малой окрестности точки  справедливо неравенство

Запишем последнее неравенство в виде

Применяя формулу Лагранжа к первому и второму слагаемому получим

Применяя еще раз формулу Лагранжа в квадратной скобке, получим

Откуда непосредственно следует , так как . Поскольку аргумент  выбран произвольно в достаточно малой окрестности точки , то и аргумент для второй производной в этом случае тоже произволен в малой окрестности точки .

Определение точки перегиба. Необходимый признак точки перегиба (формулировка). Достаточный признак точки перегиба (формулировка)

Определение . Точкой перегиба графика функции  называется точка графика непрерывной функции , отделяющая его части разной выпуклости.

Необходимый признак точки перегиба

Если точка – точка перегиба функции и если в некоторой окрестности точки (непрерывная в точке ) , то .

Достаточный признак точки перегиба

Если функция непрерывна в точке  и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если меняет знак при переходе через точку , то точка – точка перегиба функции .